X zusammenhängend < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag alle zusammen!
Ich versuche gerade den Beweis eines Satzen nachzuvollziehen und irgendwie scheitert es immer an 2 Folgerungen, die ich nicht nachvollziehen kann.
Satz :
Sei X eine Teilmenge von [mm] \mathbb R [/mm] die mehr als einen Punkt enthält. Dann sind äquivalent:
a) X ist zusammenhängend
b) X ist ein Intervall
Beweis :
a) [mm] \Rightarrow [/mm] b) KLAR
b) [mm] \Rightarrow [/mm] a).
Sei X ein Intervall . Angenommen, X sein nicht zusammenhängend.
Dann gibt es nicht leere, offene Teilmengen A, B von X mit
[mm] A \cup B = X [/mm] und [mm] A \cap B = \emptyset [/mm].
Sei [mm] a \in A, b \in B [/mm]. Sei o.B.d.A. [mm] a
Weil X ein Intervall ist , ist [mm] \left[a, b \right] \subseteq X [/mm].
Sei [mm] M:= \{ x \in A \ | \ x < b \}. [/mm]. Dann ist M nicht leer, und M ist nach oben beschränkt.
Deswegen existiert [mm] \sup M := c \in \left[ a, b \right] [/mm]
Weil B offen in X ist, ist A abgeschlossen in X [mm] \Rightarrow c \in A [/mm].
( Ich denke, A ist offen??? Oder versucht man hie zu zeigen, dass A eine offene und abgeschlossene Menge in X ist, was nicht sein darf , wenn X zusammenhängend ist? )
Also [mm] c \notin B [/mm]. Deswegen ist [mm] a \le c < b [/mm].
Weil A offen in X ist, gibt es ein [mm] \epsilon > 0 [/mm] mit [mm] \left[c, c + \epsilon \right[ \subseteq A [/mm] und dies ist ein Widerspruch zum
[mm] c = [mm] \sup \{ x \in A \ | \ x < b \}.
[/mm]
( Haben wir also gezeigt, dass A nicht gleichzeitig offen und abgeschlossen sein kann, und deswegen X zusammenhängend ist? )
Vielen Dank
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Guten Tag alle zusammen!
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> Ich versuche gerade den Beweis eines Satzen
> nachzuvollziehen und irgendwie scheitert es immer an 2
> Folgerungen, die ich nicht nachvollziehen kann.
>
> Satz :
>
> Sei X eine Teilmenge von [mm]\mathbb R[/mm] die mehr als einen Punkt
> enthält. Dann sind äquivalent:
>
> a) X ist zusammenhängend
> b) X ist ein Intervall
>
> Beweis :
>
> a) [mm]\Rightarrow[/mm] b) KLAR
>
> b) [mm]\Rightarrow[/mm] a).
>
> Sei X ein Intervall . Angenommen, X sein nicht
> zusammenhängend.
> Dann gibt es nicht leere, offene Teilmengen A, B von X
> mit
> [mm]A \cup B = X[/mm] und [mm]A \cap B = \emptyset [/mm].
> Sei [mm]a \in A, b \in B [/mm].
> Sei o.B.d.A. [mm]a
>
> Weil X ein Intervall ist , ist [mm]\left[a, b \right] \subseteq X [/mm].
>
> Sei [mm]M:= \{ x \in A \ | \ x < b \}. [/mm]. Dann ist M nicht leer,
> und M ist nach oben beschränkt.
> Deswegen existiert [mm]\sup M := c \in \left[ a, b \right][/mm]
>
> Weil B offen in X ist, ist A abgeschlossen in X [mm]\Rightarrow c \in A [/mm].
>
> ( Ich denke, A ist offen??? Oder versucht man hie zu
> zeigen, dass A eine offene und abgeschlossene Menge in X
> ist, was nicht sein darf , wenn X zusammenhängend ist? )
Da B offen ist, ist [mm]X\setminus B[/mm] abgeschlossen. Und wegen [mm]A \cup B = X[/mm] und [mm]A \cap B = \emptyset [/mm] ist [mm]X\setminus B=A[/mm], also A abgeschlossen.
>
> Also [mm]c \notin B [/mm]. Deswegen ist [mm]a \le c < b [/mm].
> Weil A offen
> in X ist, gibt es ein [mm]\epsilon > 0[/mm] mit [mm]\left[c, c + \epsilon \right[ \subseteq A[/mm]
> und dies ist ein Widerspruch zum
> [mm]c = [mm]\sup \{ x \in A \ | \ x < b \}.[/mm]
> ( Haben wir also gezeigt, dass A nicht gleichzeitig offen und abgeschlossen sein kann, und deswegen X zusammenhängend ist? )
Nein, denn dann wären wir ja schon weiter oben fertig gewesen. Der Widerspruch folgt aus der Definition von c als das Supremum der einen Menge da und das wir zum Schluss gezeigt haben, dass c nicht das Supremum ist.
Vielen Dank
Viele Grüße
Irmchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
> > Satz :
> >
> > Sei X eine Teilmenge von [mm]\mathbb R[/mm] die mehr als einen Punkt
> > enthält. Dann sind äquivalent:
> >
> > a) X ist zusammenhängend
> > b) X ist ein Intervall
> >
> > Beweis :
> >
> > a) [mm]\Rightarrow[/mm] b) KLAR
> >
> > b) [mm]\Rightarrow[/mm] a).
> >
> > Sei X ein Intervall . Angenommen, X sein nicht
> > zusammenhängend.
> > Dann gibt es nicht leere, offene Teilmengen A, B von X
> > mit
> > [mm]A \cup B = X[/mm] und [mm]A \cap B = \emptyset [/mm].
> > Sei [mm]a \in A, b \in B [/mm].
> > Sei o.B.d.A. [mm]a
> >
> > Weil X ein Intervall ist , ist [mm]\left[a, b \right] \subseteq X [/mm].
>
> >
> > Sei [mm]M:= \{ x \in A \ | \ x < b \}. [/mm]. Dann ist M nicht leer,
> > und M ist nach oben beschränkt.
> > Deswegen existiert [mm]\sup M := c \in \left[ a, b \right][/mm]
>
> >
> > Weil B offen in X ist, ist A abgeschlossen in X [mm]\Rightarrow c \in A [/mm].
>
> >
> > ( Ich denke, A ist offen??? Oder versucht man hie zu
> > zeigen, dass A eine offene und abgeschlossene Menge in X
> > ist, was nicht sein darf , wenn X zusammenhängend ist? )
>
> Da B offen ist, ist [mm]X\setminus B[/mm] abgeschlossen. Und wegen [mm]A \cup B = X[/mm]
> und [mm]A \cap B = \emptyset[/mm] ist [mm]X\setminus B=A[/mm], also A
> abgeschlossen.
In Ordnung, das habe ich jetzt nachvollziehen können.
> > Also [mm]c \notin B [/mm]. Deswegen ist [mm]a \le c < b [/mm].
> > Weil A
> offen
> > in X ist, gibt es ein [mm]\epsilon > 0[/mm] mit [mm]\left[c, c + \epsilon \right[ \subseteq A[/mm]
> > und dies ist ein Widerspruch zum
> > [mm]c = [mm]\sup \{ x \in A \ | \ x < b \}.[/mm]
> ( Haben wir also gezeigt, dass A nicht gleichzeitig offen und abgeschlossen sein kann, und deswegen X zusammenhängend ist? )
> Nein, denn dann wären wir ja schon weiter oben fertig gewesen. Der > Widerspruch folgt aus der Definition von c als das Supremum der einen > Menge da und das wir zum Schluss gezeigt haben, dass c nicht das > Supremum ist.
Aber hier, fehlt mir immernoch das Verständnis... Ich sehe, dass c nicht das Supremun ist, aber warum folgt nun X zusammenhängend?
Vielen Dank
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Sa 09.08.2008 | | Autor: | Merle23 |
Weil wir einen Widerspruchsbeweis geführt haben. Wir haben doch oben angenommen, dass X nicht zusammenhängend ist und unsere Mengen A, B dementsprechend als diese "Trennungsmengen" gewählt.
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