X nicht vollständig < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Di 16.10.2018 | | Autor: | Noya |
| Aufgabe | | Sei G=(a,b), [mm] -\infty [/mm] < a,b [mm] <\infty, X:=\{v \in C^1([a,b]) :v(a)=v(b)=0 \} [/mm] mit Norm [mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel_X [/mm] := [mm] (\int_a^b v^{2}dx+ \int_a^b(v'(x))^2 dx)^{\frac{1}{2}}. [/mm] Zeigen Sie, dass X mit dieser Norm nicht vollständig ist. |
Hallo ihr Lieben,
ich muss mir doch nun eine Cauchyfolge aus X konstruieren die in der Norm X nicht konvergiert.
wie kann ich hier vorgehen?
Es wäre super wenn mir jemand Tipps geben könnte, sodass ich es dann weiter versuchen kann.
Vielen Dank und liebe Grüße
Noya
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Hiho,
da sonst niemand will, antworte ich mal…
> Sei G=(a,b), [mm]-\infty[/mm] < a,b [mm]<\infty, X:=\{v \in C^1([a,b]) :v(a)=v(b)=0 \}[/mm]
> mit Norm [mm]\parallel[/mm] v [mm]\parallel_X[/mm] := [mm](\int_a^b v^{2}dx+ \int_a^b(v'(x))^2 dx)^{\frac{1}{2}}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass X mit dieser Norm nicht vollständig ist.
> Hallo ihr Lieben,
>
> ich muss mir doch nun eine Cauchyfolge aus X konstruieren
> die in der Norm X nicht konvergiert.
Das ist eine Möglichkeit, ja.
> wie kann ich hier vorgehen?
Na du kannst dir erst mal überlegen, was denn bei der Konvergenz kaputt gehen könnte… und muss.
Du hast eine Funktionenfolge aus [mm] $C^1$. [/mm] Wenn der Grenzwert nicht drin liegen soll, muss die Grenzfunktion also entweder nicht differenzierbar oder deren Ableitung nicht stetig sein.
oBdA kannst du noch annehmen, dass [a,b] = [0,1] oder [a,b] = [-1,1] ist (warum?)
Deine gegebene Norm ist äquivalent zu: [mm] $\max(||v||_2, ||v'||_2)$, [/mm] d.h. eine Funktionenfolge bezüglich deiner Norm konvergiert genau dann, wenn die Folge der Funktionen und die Folge der Ableitungen konvergieren.
Hilft dir das weiter?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Do 18.10.2018 | | Autor: | Noya |
> Hiho,
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> da sonst niemand will, antworte ich mal…
Danke 
>
> > Sei G=(a,b), [mm]-\infty[/mm] < a,b [mm]<\infty, X:=\{v \in C^1([a,b]) :v(a)=v(b)=0 \}[/mm]
> > mit Norm [mm]\parallel[/mm] v [mm]\parallel_X[/mm] := [mm](\int_a^b v^{2}dx+ \int_a^b(v'(x))^2 dx)^{\frac{1}{2}}.[/mm]
> > Zeigen Sie, dass X mit dieser Norm nicht vollständig ist.
> > Hallo ihr Lieben,
> >
> > ich muss mir doch nun eine Cauchyfolge aus X konstruieren
> > die in der Norm X nicht konvergiert.
>
> Das ist eine Möglichkeit, ja.
>
> > wie kann ich hier vorgehen?
> Na du kannst dir erst mal überlegen, was denn bei der
> Konvergenz kaputt gehen könnte… und muss.
Das dann der GW nicht mehr in X liegt, oder?
>
> Du hast eine Funktionenfolge aus [mm]C^1[/mm]. Wenn der Grenzwert
> nicht drin liegen soll, muss die Grenzfunktion also
> entweder nicht differenzierbar
also zb.etwas, dass gegen 0 konvergiert?
> oder deren Ableitung nicht stetig sein.
>
> oBdA kannst du noch annehmen, dass [a,b] = [0,1] oder [a,b]
> = [-1,1] ist (warum?)
Weil beschränktes abgeschlossenes Intervall und somit kompaltes Intervall aus [mm] \IR?
[/mm]
>
> Deine gegebene Norm ist äquivalent zu: [mm]\max(||v||_2, ||v'||_2)[/mm],
du meinst mit [mm] ||v||_2 [/mm] die [mm] L^2-Norm? [/mm] oder die Euklidsche?
> d.h. eine Funktionenfolge bezüglich deiner Norm
> konvergiert genau dann, wenn die Folge der Funktionen und
> die Folge der Ableitungen konvergieren.
>
> Hilft dir das weiter?
>
> Gruß,
> Gono
Danke!!! ich Komme damit nämlich noch nicht wirklich zurecht...
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Hiho,
> > Na du kannst dir erst mal überlegen, was denn bei der
> > Konvergenz kaputt gehen könnte… und muss.
> Das dann der GW nicht mehr in X liegt, oder?
Ja.
> > Du hast eine Funktionenfolge aus [mm]C^1[/mm]. Wenn der Grenzwert
> > nicht drin liegen soll, muss die Grenzfunktion also
> > entweder nicht differenzierbar
> also zb.etwas, dass gegen 0 konvergiert?
Nein. Die Nullfunktion liegt offensichtlich in [mm] $C^1$ [/mm] und ist damit als "Kandidat" nicht mehr geeignet.
Wenn du es von hinten aufzäumen willst: Such dir eine Funktion, die nicht in [mm] C^1 [/mm] liegt, die du mit Funktionen aus [mm] C^1 [/mm] beliebig annähern kannst (im Sinne der gegebenen Norm).
Dann wärst du fertig.
> > oBdA kannst du noch annehmen, dass [a,b] = [0,1] oder [a,b]
> > = [-1,1] ist (warum?)
> Weil beschränktes abgeschlossenes Intervall und somit
> kompaltes Intervall aus [mm]\IR?[/mm]
Die Aussage ist nicht falsch, aber nunja… nicht das was ich meinte.
Mach dir klar, dass Funktionen aus [mm] C^1([0,1]) [/mm] durch die Transformationen $x [mm] \to [/mm] a + x(b-a)$ auf Funktionen aus [mm] $C^1([a,b])$ [/mm] abgebildet werden mit den selben Eigenschaften.
Ist also $f(x)$ (nicht) in [mm] $C^1$ [/mm] so ist $f(a+x(b-a))$ auch (nicht) in [mm] $C^1([a,b])$ [/mm] und an der Konvergenz unter der Norm ändern das auch nix…
> > Deine gegebene Norm ist äquivalent zu: [mm]\max(||v||_2, ||v'||_2)[/mm],
> du meinst mit [mm]||v||_2[/mm] die [mm]L^2-Norm?[/mm] oder die Euklidsche?
[mm] $L^2$-Norm
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Do 18.10.2018 | | Autor: | Noya |
> Wenn du es von hinten aufzäumen willst: Such dir eine
> Funktion, die nicht in [mm]C^1[/mm] liegt, die du mit Funktionen aus
> [mm]C^1[/mm] beliebig annähern kannst (im Sinne der gegebenen
> Norm).
Wie meinst du das mit „annähern“?
Ich hab ein f [mm] \notin C^1 [/mm] und ein g [mm] \in C^1
[/mm]
[mm] ||f||_X \le ||g||_X [/mm] ?
> Mach dir klar, dass Funktionen aus [mm]C^1([0,1])[/mm] durch die
> Transformationen [mm]x \to a + x(b-a)[/mm] auf Funktionen aus
> [mm]C^1([a,b])[/mm] abgebildet werden mit den selben Eigenschaften.
>
> Ist also [mm]f(x)[/mm] (nicht) in [mm]C^1[/mm] so ist [mm]f(a+x(b-a))[/mm] auch
> (nicht) in [mm]C^1([a,b])[/mm] und an der Konvergenz unter der Norm
> ändern das auch nix…
Stimmt! Danke 🤦♀️
>
>
> > > Deine gegebene Norm ist äquivalent zu: [mm]\max(||v||_2, ||v'||_2)[/mm],
> > du meinst mit [mm]||v||_2[/mm] die [mm]L^2-Norm?[/mm] oder die Euklidsche?
> [mm]L^2[/mm]-Norm
>
Okay was anderes hätte auch keinen Sinn ergeben 🙈
DANKE! :)
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Hiho,
> Wie meinst du das mit „annähern“?
> Ich hab ein f [mm]\notin C^1[/mm] und ein g [mm]\in C^1[/mm]
> [mm]||f||_X \le ||g||_X[/mm]
au man… GRUNDLAGEN, GRUNDLAGEN, GRUNDLAGEN!
Was bedeutet es, eine Funktion bezüglich einer bestimmten Norm zu approximieren (anzunähern)?
Richtig: Zu beliebigem [mm] $\varepsilon$ [/mm] finde ein $g [mm] \in C^1$ [/mm] so dass [mm] $||f-g||_X [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Aber du hast meine Frage noch nicht beantwortet: Kennst du denn eine Funktion, die nicht (überall) differenzierbar ist? Denk mal an deine Analysis I Vorlesung…
Gruß,
Gono
> > Mach dir klar, dass Funktionen aus [mm]C^1([0,1])[/mm] durch die
> > Transformationen [mm]x \to a + x(b-a)[/mm] auf Funktionen aus
> > [mm]C^1([a,b])[/mm] abgebildet werden mit den selben Eigenschaften.
> >
> > Ist also [mm]f(x)[/mm] (nicht) in [mm]C^1[/mm] so ist [mm]f(a+x(b-a))[/mm] auch
> > (nicht) in [mm]C^1([a,b])[/mm] und an der Konvergenz unter der Norm
> > ändern das auch nix…
> Stimmt! Danke 🤦♀️
> >
> >
> > > > Deine gegebene Norm ist äquivalent zu: [mm]\max(||v||_2, ||v'||_2)[/mm],
> > > du meinst mit [mm]||v||_2[/mm] die [mm]L^2-Norm?[/mm] oder die Euklidsche?
> > [mm]L^2[/mm]-Norm
> >
> Okay was anderes hätte auch keinen Sinn ergeben 🙈
>
>
> DANKE! :)
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Do 18.10.2018 | | Autor: | Noya |
Hey,
> Richtig: Zu beliebigem [mm]\varepsilon[/mm] finde ein [mm]g \in C^1[/mm] so
> dass [mm]||f-g||_X < \varepsilon[/mm]
>
> Aber du hast meine Frage noch nicht beantwortet: Kennst du
> denn eine Funktion, die nicht (überall) differenzierbar
> ist? Denk mal an deine Analysis I Vorlesung…
>
Als erstes fätt mir z.B f(x)=|x| ist in der 0 nicht diff'bar.
Aber was kann ich damit machen, da ich sie nicht "klassisch" differenzieren kann (schwache Ableitung bisher nicht definiert in der Vorlesung) und in der || [mm] f||_X [/mm] benötige ich ja die Ableitung ?!
Danke für deine Mühen. :)
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Hiho,
> Als erstes fätt mir z.B f(x)=|x| ist in der 0 nicht diff'bar.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nun bedenke noch, dass $|x| = [mm] \sqrt{x^2}$ [/mm] ist.
Was könnte man nun machen um das "hübsch" durch [mm] C^1 [/mm] Funktionen zu approximieren?
Tipp: Das Problem der Nicht-Differenzierbarkeit tritt ja nur für x=0 auf. Versuch den Ausdruck unter der Wurzel mal ein bisschen von Null "wegzuschieben".
> Aber was kann ich damit machen, da ich sie nicht
> "klassisch" differenzieren kann (schwache Ableitung bisher
> nicht definiert in der Vorlesung) und in der || [mm]f||_X[/mm]
> benötige ich ja die Ableitung ?!
Das ist kein Problem. Es gilt dank den Eigenschaften des Riemann-Integrals: [mm] $\int_a^b [/mm] f'(x) dx = [mm] \int_a^b f'(x)*1_{x\not= 0} [/mm] dx$ da man den Integranden an endlich vielen Stellen verändern kann, ohne das Integral zu ändern.
Und für [mm] $x\not=0$ [/mm] kannst du doch prima die Ableitung bilden.
Oder um es anders auszudrücken: $|x|$ ist fast überall differenzierbar.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Fr 19.10.2018 | | Autor: | Noya |
Hallöchen,
> > Als erstes fätt mir z.B f(x)=|x| ist in der 0 nicht
> diff'bar.
>
> Nun bedenke noch, dass [mm]|x| = \sqrt{x^2}[/mm] ist.
> Was könnte man nun machen um das "hübsch" durch [mm]C^1[/mm]
> Funktionen zu approximieren?
> Tipp: Das Problem der Nicht-Differenzierbarkeit tritt ja
> nur für x=0 auf. Versuch den Ausdruck unter der Wurzel mal
> ein bisschen von Null "wegzuschieben".
Irgendwie bin ich jetzt voll raus.
Wir wollen was in die Richtung f [mm] \notin C^1, [/mm] g [mm] \in C^1 [/mm] mit [mm] ||f-g||<\epsilon
[/mm]
Idee ist es nun [mm] |x|=\sqrt{x^2} [/mm] etwas zu verschieben, sodass wir die Probelmatik nicht haben, dass das nicht in 0 diff'bar ist.
zb so : [mm] |x+\delta|=\sqrt{(x+\delta)^2} [/mm] mit [mm] \delta>0 [/mm] klein genug?
Ich glaube, dass ich nicht verstehe worauf du hinaus willst... Könntest du mir deine Idee eventuell nochmal erläutern?
Danke :)
Noya
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Hiho,
> Wir wollen was in die Richtung f [mm]\notin C^1,[/mm] g [mm]\in C^1[/mm] mit
> [mm]||f-g||<\epsilon[/mm]
Ja… denn setzen wir dann [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $g=g_n$ [/mm] so hast du deine Folge [mm] $g_n \to [/mm] f$ gefunden....
> Idee ist es nun [mm]|x|=\sqrt{x^2}[/mm] etwas zu verschieben,
> sodass wir die Probelmatik nicht haben, dass das nicht in 0
> diff'bar ist.
> zb so : [mm]|x+\delta|=\sqrt{(x+\delta)^2}[/mm] mit [mm]\delta>0[/mm] klein
> genug?
Ja, sieht gut aus. Von der Idee korrekt. Nimm aber lieber [mm] $g_n(x) [/mm] = [mm] \sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}}$
[/mm]
Zeige nun: [mm] $g_n \in C^1[-1,1], g_n \to |\cdot|$ [/mm] bezüglich [mm] $||\cdot||_X$. [/mm]
Und du bist fertig…
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Fr 19.10.2018 | | Autor: | Noya |
Hallöchen,
erstmal DANKE!!!
> Ja, sieht gut aus. Von der Idee korrekt. Nimm aber lieber
> [mm]g_n(x) = \sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}}[/mm]
>
> Zeige nun: [mm]g_n \in C^1[-1,1], g_n \to |\cdot|[/mm] bezüglich
> [mm]||\cdot||_X[/mm].
eine Frage noch vorab.
[mm] g_n [/mm] muss ja aus [mm] X:=\{v \in C^1([a,b]) :v(a)=v(b)=0 \} [/mm] sein, d.h. [mm] g_n [/mm] nicht nur aus [mm] C^1 [/mm] sondern es muss auch gelten, dass mit [a,b]=[-1,1] auch gilt [mm] g_n(-1)=g_n(1)=0 [/mm] oder? Was mit unserer konstruierten Funktionenfolge nicht erfüllt wäre?
ansonsten würde ich jetzt zeigen, dass
[mm] \lim_{n \to \infty} \parallel g_n [/mm] -f [mm] \parallel_X [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \parallel \sqrt{x^2 + \frac{1}{n^2}}- \sqrt{x^2}\parallel_X \not= [/mm] 0
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Hiho,
> [mm]g_n[/mm] muss ja aus [mm]X:=\{v \in C^1([a,b]) :v(a)=v(b)=0 \}[/mm]
> sein, d.h. [mm]g_n[/mm] nicht nur aus [mm]C^1[/mm] sondern es muss auch
> gelten, dass mit [a,b]=[-1,1] auch gilt [mm]g_n(-1)=g_n(1)=0[/mm]
> oder? Was mit unserer konstruierten Funktionenfolge nicht
> erfüllt wäre?
ach Noya, ein bisschen mitdenken.
Du hast doch [mm] $g_n(-1) [/mm] = [mm] g_n(1) [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$.
[/mm]
Setzen wir nun [mm] $\tilde{g_n}(x) [/mm] = [mm] g_n(x) [/mm] - [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] welche Eigenschaften hat dann die Folge der [mm] \tilde{g_n}$?
[/mm]
1.) Passen die Randbedingungen?
2.) Ändert sich was an der Differenzierbarkeit?
3.) Ändert sich die Grenzfunktion?
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Sa 20.10.2018 | | Autor: | Noya |
Hallöchen,
> Du hast doch [mm]g_n(-1) = g_n(1) = \frac{1}{n}[/mm].
Tut mir Leid. Das verstehe ich nicht.
Denn wenn [mm] g_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}} [/mm] ist erhalte ich
[mm] g_n(-1) [/mm] = [mm] g_n(1) [/mm] = [mm] \sqrt{1+\frac{1}{n^2} }
[/mm]
Oder was sehe ich hier nicht?
> Setzen wir
> nun [mm]$\tilde{g_n}(x)[/mm] = [mm]g_n(x)[/mm] - [mm]\frac{1}{n}$[/mm] welche
> Eigenschaften hat dann die Folge der [mm]\tilde{g_n}$?[/mm]
>
> 1.) Passen die Randbedingungen?
Meiner Meinung nach nicht (s.o)
> 2.) Ändert sich was an der Differenzierbarkeit?
Nein
> 3.) Ändert sich die Grenzfunktion?
Nein
>
> Gruß,
> Gono
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Hiho,
> Hallöchen,
>
> > Du hast doch [mm]g_n(-1) = g_n(1) = \frac{1}{n}[/mm].
> Tut mir Leid. Das verstehe ich nicht.
>
> Denn wenn [mm]g_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}}[/mm] ist erhalte ich
> [mm]g_n(-1)[/mm] = [mm]g_n(1)[/mm] = [mm]\sqrt{1+\frac{1}{n^2} }[/mm]
> Oder was sehe ich hier nicht?
Du hast recht… ich hatte [mm] $g_n(0)$ [/mm] im Kopf
Also betrachte eben: [mm] $\tilde{g_n}(x) [/mm] = [mm] g_n(x) [/mm] - [mm] \sqrt{1 + \frac{1}{n^2}}$
[/mm]
Dann gilt (diesmal wirklich) [mm] $\tilde{g_n}(-1) [/mm] = [mm] \tilde{g_n}(1) [/mm] = 0$ und die [mm] $\tilde{g_n}$ [/mm] sind weiterhin [mm] $C^1$.
[/mm]
Aber aufpassen: Jetzt ändert sich die Grenzfunktion.
Auf was?
Ist das ein Problem?
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Fr 26.10.2018 | | Autor: | Noya |
Hey.
Danke für deine Hilfe!
Hab das Problem gelöst.
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