Wurzelziehen über Summen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:33 Mo 17.10.2005 | | Autor: | sheroza |
Hallo,
mein Anliegen ist folgendes: ich finde weder im Internet noch in meinen zur Verfügung stehenden Büchern, wie man eine Wurzel oder ein Quadrat über eine Summenformel berechnet.
Mir ist schleierhaft, ob ich die Wurzel/das Quadrat über die gesamte Summe oder nur über die Variablen legen soll.
Zu beweise ist in der Analysis die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung
[mm] \left( \sum\limits_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \le \summe_{i=1}^{n}a_i^2 \summe_{i=1}^{n}b_i^2
[/mm]
ausgehend von der wahren Aussage:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\summe_{j=1}^{n}(a_i \*b_j-a_j \*b_i)^2\ge0
[/mm]
Und zu beweisen in Algebra:
[mm] \summe_{i=1}^{n}(x_i- \overline{x})^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}x_i^2-n \overline{x}^2
[/mm]
wobei [mm] \overline{x}= \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n}x_i
[/mm]
Ich möchte die Aufgaben sehr gern alleine lösen können, nur ist es mir sehr unklar, wie ich die Wurzeln ziehe, wenn Summations- oder vielleicht auch Produktzeichen vorhanden sind. Analog habe ich das Problem mit den Quadraten/Potenzen. Wann ziehe ich das Zeichen mit ein oder lasse ich die Notation aussen vor und rechne nur mit dem Therm?
Mir ist klar, dass die Wurzel aus der gesamten Summe nicht identisch mit der Wurzel aus den Summationsthermen ist. Analog auch die Klarheit mit den Potenzen, dass es rein logisch einfach nicht das Gleiche ist.
Nur wie???
Ich bin so ratlos über meinen Büchern.
lg, sheri
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:19 Di 18.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Irgendwie verstehe ich deine Frage nicht so ganz, wenn du schon sagst, dass dir klar ist, dass die Wurzel aus der Summe nicht das Gleiche ist wie die Summe aus der Wurzel. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Mir ist schleierhaft, ob ich die Wurzel/das Quadrat über
> die gesamte Summe oder nur über die Variablen legen soll.
>
> Zu beweise ist in der Analysis die
> Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung
>
> [mm]\left( \sum\limits_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \le \summe_{i=1}^{n}a_i^2 \summe_{i=1}^{n}b_i^2[/mm]
Wenn du hier die Wurzel ziehen willst, dann musst du das über die ganze Gleichung bzw. Ungleichung tun (wobei beim Wurzelziehen sowieso immer etwas Vorsicht geboten ist, ich weiß gerade nicht, wie das da noch bei Ungleichungen ist...). Es ist wohl klar, dass auf der linken Seite dann das Quadrat wegfällt und nur noch die Klammer da steht. Auf der rechten Seite steht dann die Wurzel über "alles". Da es aber ein Produkt von Summen ist, kannst du über jeden Faktor ein Wurzelzeichen machen, dann hast du zwei Wurzeln, die jeweils über eine Summe gehen. Und das kannst du in der Regel nicht vereinfachen.
Hat dir das irgendwie geholfen?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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Hallo!
Ich weiß nicht, ob es hilft, aber man beweist die C-S-UGL glaub ich nicht, indem man die Wurzel zieht, sondern man beweist es mit der Potenz hoch n. Ich würde vermuten, dass man das mit dem Binomischen Lehrsatz macht, d.h. mit der Binomischen Formel für n Summanden. Wenn ihr den schon hattet, würd ich es mal damit machen.
Ansonsten gibt es viele Beweise der C-S-Ugl, wenn du mal bei Google >beweis cauchy schwarz ungleichung< eingibst und weit blätterst.
Viel Erfolg noch.
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> Zu beweise ist in der Analysis die
> Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung
Wie von Finanz_Kathrin erwähnt, findest Du das im Internet und in fast jedem Buch. Stöber mal ein bißchen. Bibliothek?
Allgemeines
Du mußt gut aufpassen mit den Klammern.
[mm] \summe_{i=1}^{n}a_i, [/mm] das bedeutet ja [mm] a_1+a_2+a_3+...a_n.
[/mm]
Berechnen wir mal [mm] (\summe_{i=1}^{n}a_i+b)^2. [/mm] Das bedeutet [mm] ((a_1+a_2+a_3+...a_n)+b)^2
[/mm]
[mm] =(a_1+a_2+a_3+...a_n)^2+2(a_1+a_2+a_3+...a_n)b+b^2
[/mm]
[mm] =(\summe_{i=1}^{n}a_i)^2+2(\summe_{i=1}^{n}a_i)b+b^2. [/mm] Klar?
Etwas gaaaanz anderes ist
[mm] \summe_{i=1}^{n}(a_i+b)^2
[/mm]
[mm] =(a_1+b)^2+(a_2+b)^2+(a_3+b)^2+...(a_n+b)^2
[/mm]
[mm] =({a_1}^2+2a_1b+b^2)+({a_2}^2+2a_2b+b^2)+({a_3}^2+2a_3b+b^2)+...+({a_n}^2+2a_nb+b^2)
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}{a_i}^2+\summe_{i=1}^{n}(2{a_i}b)+nb^2
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n}{a_i}^2+2b\summe_{i=1}^{n}{a_i}+nb^2
[/mm]
Wenn Du Dir immer klar machst, was das Summenzeichen bedeutet (es ist ja nur eine Abkürzung) wirst Du es bald können.
Nun könntest Du es an deinem Beispiel probieren.
Esist
$ [mm] \summe_{i=1}^{n}(x_i- \overline{x})^2 [/mm] $
= ...
Versuch's mal! Wenn Du nicht mehr weiter weißt mit den Summenzeichen, denk Dir mal kurz [mm] (a_1+a_2+a_3) [/mm] statt der Summe und überleg Dir, wie's hiermit ginge. Manchmal hilft das schon.
Gruß v. Angela
Und viel Erfolg
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