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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:44 Do 05.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Berechne
a) [mm] \wurzel{x-3} [/mm] = 3 - [mm] \wurzel{x}
[/mm]
b) [mm] \wurzel{x+15} [/mm] - [mm] \wurzel{12 + 2x} [/mm] = 0 |
moin,
ich dachte, ich könnte diese aufgaben, aber jetzt bin ich leicht verwirrt.
kannmir jemand erklären, warum man die eine aufgabe mit binomischer formel rechnet´und die andere nicht!????
danke!!
a) [mm] \wurzel{x-3} [/mm] = 3 - [mm] \wurzel{x}
[/mm]
Gleichung quadrieren
x-3 = [mm] 3^2 [/mm] - 2*3* [mm] \wurzel{x} [/mm] + x
-12 = - 2*3* [mm] \wurzel{x}
[/mm]
2 = [mm] \wurzel{x}
[/mm]
nochmals quadrieren
4 = x
b) [mm] \wurzel{x+15} [/mm] - [mm] \wurzel{12 + 2x} [/mm] = 0
warum nicht auch hier, beim quadrieren die binomische formel anwenden
[mm] a^2 [/mm] - 2ab + [mm] b^2 [/mm] = 0
a= [mm] \wurzel{x+15} [/mm] ; b= [mm] \wurzel{12 + 2x} [/mm]
aber der rechenweg ist hier
[mm] \wurzel{x+15} [/mm] = [mm] \wurzel{12+2x} [/mm]
x+15 = 12+2x
x=3
???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Do 05.10.2006 | | Autor: | Disap |
> Berechne
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> a) [mm]\wurzel{x-3}[/mm] = 3 - [mm]\wurzel{x}[/mm]
>
> b) [mm]\wurzel{x+15}[/mm] - [mm]\wurzel{12 + 2x}[/mm] = 0
> moin,
Moin Moin.
> ich dachte, ich könnte diese aufgaben, aber jetzt bin ich
> leicht verwirrt.
> kannmir jemand erklären, warum man die eine aufgabe mit
> binomischer formel rechnet´und die andere nicht!????
>
> danke!!
>
>
> a) [mm]\wurzel{x-3}[/mm] = 3 - [mm]\wurzel{x}[/mm]
>
> Gleichung quadrieren
>
> x-3 = [mm]3^2[/mm] - 2*3* [mm]\wurzel{x}[/mm] + x
>
> -12 = - 2*3* [mm]\wurzel{x}[/mm]
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> 2 = [mm]\wurzel{x}[/mm]
>
> nochmals quadrieren
>
> 4 = x
Das Ergebnis stimmt. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> b) [mm]\wurzel{x+15}[/mm] - [mm]\wurzel{12 + 2x}[/mm] = 0
>
> warum nicht auch hier, beim quadrieren die binomische
> formel anwenden
>
> [mm]a^2[/mm] - 2ab + [mm]b^2[/mm] = 0
>
> a= [mm]\wurzel{x+15}[/mm] ; b= [mm]\wurzel{12 + 2x}[/mm]
>
>
> aber der rechenweg ist hier
>
> [mm]\wurzel{x+15}[/mm] = [mm]\wurzel{12+2x}[/mm]
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> x+15 = 12+2x
>
> x=3
>
> ???
Auch richtig. Der Rechenweg ist eben nur sehr elegant.
Bei Aufgabe a) haben wir das Problemchen, dass nicht alle "Zahlen" unter der Wurzel stehen. Und diese (Wurzel) müssen wir ja irgendwie wegbekommen. Und das geht hier nur mit Quadrieren. Das läuft auf auf die binomische Formel hinaus $ [mm] \wurzel{x-3} [/mm] $ = [mm] \red{3} [/mm] - $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $
Man kann daraus natürlich auch
$ [mm] \wurzel{x-3} [/mm] - 3 + [mm] \wurzel{x} [/mm] = 0 $
machen und nun quadrieren [mm] \rightarrow [/mm] die binomische Formel anwenden. Aber das macht dir das Leben nicht einfacher und vermutlich wird es auch länglicher.
Ich tüftel mal bei Aufgabe b mit der Binomischen Formel, die du ja schon richtig genannt hast.
$a= [mm] \wurzel{x+15}$ [/mm] ; $b= [mm] \wurzel{12 + 2x}$
[/mm]
[mm] $\red{a^2}\blue{-2ab}\green{+b^2} [/mm] = 0$
[mm] $\red{x+15}\blue{-2*\wurzel{x+15}* \wurzel{12 + 2x}}\green{+12+2x}=0$
[/mm]
Ich fasse das grüne und rote zusammen, schreibe die Wurzeln etwas anders.
[mm] $3x+27-2\wurzel{\red{(x+15)(12+2x)}}=0$
[/mm]
Nun multipliziere ich den roten Teil aus.
[mm] $3x+27-2\wurzel{2x^2 + 42x + 180}=0$
[/mm]
Tja, und wie soll ich jetzt weitermachen? Bringe ich die 3x+27 auf die andere Seite und quadriere dann wieder? Das wäre das Einfachste.
[mm] $-2\wurzel{2x^2 + 42x + 180}=-3x-27$
[/mm]
Theoretisch haben wir etwas vergleichbares wie bei Aufgabe a.
Der Witz ist einfach, dass man bei Aufgabe b nur zwei Wurzeln hat, die man beide schön auf eine Seite schaufeln kann. Beim Quadrieren erübrigen sich die Wurzeln dann.
Bei Aufgabe a geht das allerdings nicht so leicht, weil wir dort [mm] $\red{3} [/mm] - [mm][mm] \wurzel{x}$ [/mm] haben.
Vielleicht kann ich deine Frage anders beantworten, betrachten wir einfach mal den Term:
[mm] $\wurzel{x+15}$
[/mm]
Umgeschrieben ergibt das
[mm] $(x+15)^{0.5}$
[/mm]
Wenn wir das nun quadrieren, erhalten wir
[mm] $(x+15)^{0.5}*(x+15)^{0.5}$
[/mm]
Potenzen mit gleicher Basis werden mulitpliziert, indem man ihre Exponenten addiert.
[mm] $(x+15)^{0.5+0.5}=(x+15)^1=x+15$
[/mm]
Betrachten wir jetzt:
$3 - [mm] \wurzel{x}$
[/mm]
Schreiben das um
[mm] $3^1 [/mm] - [mm] x^{0.5}$
[/mm]
Quadrieren das
[mm] ($3^1 [/mm] - [mm] x^{0.5}) ($3^1 [/mm] - [mm] x^{0.5})$
[/mm]
"Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert,..." das hat sich jetzt erledigt. Wir haben hier nämlich keine gleiche Basis (im Sinne des vorher genannten), denn wir müssen anders vorgehen, mühsamer, indem wir die Klammern miteinander ausmultiplizieren (das Binom ist da nur eine Vereinfachung/Fertigformel). D. h. das Potenzgesetz hat sich hier erledigt, da wir keinen einheitliche Exponenten haben - jedenfalls nicht so, dass wir sie einfach addieren können.
Stellt dich das zufrieden - irgendwie denke ich, du hast dir etwas anderes vorgestellt?
Ansonsten kannst du ja die Frage noch einmal auf unbeantwortet stellen (mit der entsprechenden Mitteilung, damit die Mitglieder wissen, was zu tun ist)
Schöne Grüße
Disap
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Fr 06.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin disap,
im prinzip sagst du aus, dass man die aufgabe auf zwei weisen lösen kann
1. die elegante geschickte weise
[mm] \wurzel{x+15} [/mm] - [mm] \wurzel{12+2x} [/mm] = 0
[mm] \wurzel{x+15} [/mm] = [mm] \wurzel{12+2x} [/mm]
usw. s.o.
2. die umständliche weise
[mm] \wurzel{x+15} [/mm] - [mm] \wurzel{12+2x} [/mm] = 0
mit binomischer formel.
habe deinen ansatz mal weitergerechnet, kommt dasselbe raus x=3.
x+15 - 2* [mm] \wurzel{x+15} [/mm] * [mm] \wurzel{12+2x} [/mm] + 12+2x =0
usw.
wenn das so ist, ist meine frage zufriedenstellend beantwortet.
kannst du das bestätigen?
danke & gruss
wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Wolfgang,
> moin disap,
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> im prinzip sagst du aus, dass man die aufgabe auf zwei
> weisen lösen kann
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> 1. die elegante geschickte weise
>
> [mm]\wurzel{x+15}[/mm] - [mm]\wurzel{12+2x}[/mm] = 0
>
> [mm]\wurzel{x+15}[/mm] = [mm]\wurzel{12+2x}[/mm]
>
> usw. s.o.
>
>
> 2. die umständliche weise
>
> [mm]\wurzel{x+15}[/mm] - [mm]\wurzel{12+2x}[/mm] = 0
>
> mit binomischer formel.
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> habe deinen ansatz mal weitergerechnet, kommt dasselbe raus
> x=3.
>
> x+15 - 2* [mm]\wurzel{x+15}[/mm] * [mm]\wurzel{12+2x}[/mm] + 12+2x =0
>
> usw.
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> wenn das so ist, ist meine frage zufriedenstellend
> beantwortet.
>
> kannst du das bestätigen?
>
> danke & gruss
> wolfgang
ja, das ist so - es gibt fast immer (oder vielleicht immer ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ) mehrere Lösungswege - die einen schneller, die anderen langsamer.
Beispiel: $ 3+3+3+3+3+3+3=21 $ aber auch $ 3*7=21 $
$ 57*16 $ im Kopf zu lösen ist schon recht umständlich, aber es geht auch so:
$ 57*2*2*2*2=114*2*2*2=228*2*2=456*2=912 $
dauert länger, aber geht einfacher.
Liebe Grüße
Herby
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