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| Aufgabe | a) Zeigen Sie, dass [mm] \wurzel{3} \not\in \IQ[\wurzel{2}], [/mm] wobei [mm] \IQ[\wurzel{2}] [/mm] = {a + [mm] b\wurzel{2} [/mm] | a,b [mm] \in \IQ [/mm] }
b) Zeigen Sie, dass 1, [mm] \wurzel{2}, \wurzel{3}, \wurzel{6} \in \IR [/mm] linear unabhängig über [mm] \IQ [/mm] sind |
Hallo, ich bräuchte mal wieder eure Hilfe.
Bei der a) hab ich so angefangen:
Angenommen, es gilt [mm] \wuzel{3} \in \IQ[\wurzel{2}], [/mm] dann gibt es eine Darstellung [mm] \wurzel{3} [/mm] = a + [mm] b\wurzel{2} [/mm] mit a,b [mm] \in \IQ. [/mm]
Ok, jetzt weiß ich leider nicht weiter, ich hab schon versucht mit Brüchen zu arbeiten, aber ich komme da leider nicht wirklich weiter.
Bei der b) habe ich angenommen 1, [mm] \wurzel{2}, \wurzel{3}, \wurzel{6} [/mm] wäre über [mm] \IQ [/mm] linear abhängig und habe dann so weiter gemacht:
(*) 0 = [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2\wurzel{2} [/mm] + [mm] a_3\wurzel{3} [/mm] + [mm] a_4\wurzel{6} [/mm] mit [mm] a_i \in \IQ
[/mm]
Da (*) lin. abhängig ist, gilt z.B.
[mm] a_2\wurzel{2} [/mm] = [mm] -a_1 [/mm] - [mm] a_3\wurzel{3} [/mm] - [mm] a_4\wurzel{6}
[/mm]
[mm] \wurzel{2} [/mm] = [mm] -b_1 [/mm] - [mm] b_3\wurzel{3} [/mm] - [mm] b_4\wurzel{6}
[/mm]
wobei [mm] b_i \in \IQ [/mm] mit [mm] b_i [/mm] = [mm] \bruch{a_i}{a_2}
[/mm]
Tja...ich hatte dann erst überlegt, ob ich mit der Abgeschlossenheit von [mm] \IQ [/mm] argumentieren kann, aber durch die Multiplikation mit den Wurzeln liegt die rechte Seite der Gleichung ja nicht mehr in [mm] \IQ...
[/mm]
Ich sag schon mal Danke im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Fr 30.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\wurzel{3} \not\in \IQ[\wurzel{2}],[/mm]
> wobei [mm]\IQ[\wurzel{2}] = \{a + b\wurzel{2}| a,b \in \IQ \}[/mm]
>
> b) Zeigen Sie, dass 1, [mm]\wurzel{2}, \wurzel{3}, \wurzel{6} \in \IR[/mm]
> linear unabhängig über [mm]\IQ[/mm] sind
> Hallo, ich bräuchte mal wieder eure Hilfe.
> Bei der a) hab ich so angefangen:
> Angenommen, es gilt [mm]\wuzel{3} \in \IQ[\wurzel{2}],[/mm] dann
> gibt es eine Darstellung [mm]\wurzel{3}[/mm] = a + [mm]b\wurzel{2}[/mm] mit a,b [mm]\in \IQ.[/mm]
> Ok, jetzt weiß ich leider nicht weiter, ich hab schon
> versucht mit Brüchen zu arbeiten, aber ich komme da leider
> nicht wirklich weiter.
Tipp: Quadriere beide Seiten!
> Bei der b) habe ich angenommen 1, [mm]\wurzel{2}, \wurzel{3}, \wurzel{6}[/mm]
> wäre über [mm]\IQ[/mm] linear abhängig und habe dann so weiter
> gemacht:
> (*) 0 = [mm]a_1[/mm] + [mm]a_2\wurzel{2}[/mm] + [mm]a_3\wurzel{3}[/mm] + [mm]a_4\wurzel{6}[/mm] mit [mm]a_i \in \IQ[/mm]
> Da (*) lin. abhängig ist,
> gilt z.B.
> [mm]a_2\wurzel{2}[/mm] = [mm]-a_1[/mm] - [mm]a_3\wurzel{3}[/mm] - [mm]a_4\wurzel{6}[/mm]
> [mm]\wurzel{2}[/mm] = [mm]-b_1[/mm] - [mm]b_3\wurzel{3}[/mm] - [mm]b_4\wurzel{6}[/mm]
> wobei [mm]b_i \in \IQ[/mm] mit [mm]b_i[/mm] = [mm]\bruch{a_i}{a_2}[/mm]
Auch hier hilft das Quadrieren, wobei es etwas einfacher ist, wenn du die [mm]\wurzel{6}[/mm] auf die linke Seite bringst statt der [mm]\wurzel{2}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Hallo, erstmal danke für die schnelle Antwort. Ich hab bei beiden Sachen jetzt mal quadriert und einige Zeit darüber nachgedacht, aber leider komm ich nicht wirklich weiter. Also ich hab jetzt
[mm] \wurzel{3} [/mm] = a + [mm] b\wurzel{2}
[/mm]
3 = [mm] a^2 [/mm] + 2b
tja...worauf will ich denn eigentlich hinaus, also was sollte ich nachher herausbekommen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:22 Sa 01.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, erstmal danke für die schnelle Antwort. Ich hab bei
> beiden Sachen jetzt mal quadriert und einige Zeit darüber
> nachgedacht, aber leider komm ich nicht wirklich weiter.
> Also ich hab jetzt
> [mm]\wurzel{3}[/mm] = a + [mm]b\wurzel{2}[/mm]
> 3 = [mm]a^2[/mm] + 2b
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die binomische Formel solltest du schon richtig anwenden:
[mm] 3 = a^2 + 2 b^2 + ab\sqrt{2}[/mm], [mm]a,b\in \IQ[/mm].
> tja...worauf will ich denn eigentlich hinaus, also was
> sollte ich nachher herausbekommen?
Vielleicht einen Widerspruch?
Viele Grüße
Rainer
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Ok, alles klar vielen dank, war wohl etwas zu müde gestern abend. Aber biste dir sicher, dass DU die binomische Formel richtig angewendet hast?
> Die binomische Formel solltest du schon richtig
> anwenden:
>
> [mm]3 = a^2 + 2 b^2 + ab\sqrt{2}[/mm], [mm]a,b\in \IQ[/mm].
Kann natürlich sein, dass ich mich irre, aber [mm] 3=a^2+2b^2+2ab\wurzel{2} [/mm] oder nicht?
Ansonsten bedanke ich mich für die überaus freundliche Beratung und den hilfreichen Tipp, dass ich bei einem Widerspruchsbeweis einen Widerspruch erhalten sollte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo rainman!
> [...] aber [mm]3=a^2+2b^2+2ab\wurzel{2}[/mm] , oder nicht?
Oder doch! Du hast Recht. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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