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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Tazili |
| Aufgabe | [mm] f(x) = \wurzel[3]{x}{4} -> f'(x) = x\bruch {4}{3} [/mm]
und
f(x) = x*e^-x -> f'(x) = -x*e^-x -> f''(x) = x*e^-x -> f'''(x) = -x*e^-x |
Also, ich bin mir ziemlich unsicher was das umformen von Wurzeln usw. angeht...
könnte mir dazu vielleicht jemand ein paar Tipps geben?
Und zur E-Funktion..., ich kann mir irgendwie nicht vorstellen, dass meine Rechnungen auch nur Ansatzweise richtig sind! Könnte das bitte jemand berichtigen oder mich jemand auf die richtige Spur führen?
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]f(x) = \wurzel[3]{x}{4} -> f'(x) = x\bruch {4}{3}[/mm]
Ich weiss nicht genau, was du geschrieben hast. Benutze bitte beim nächsten Mal die Vorschau, um zu überprüfen ob das genau so dasteht wie du es gern hättest!
So wie es oben steht, macht es auch wenn ich mir denke, was dastehen soll, keinen Sinn. Deswegen hier ein paar allgemeine Tipps:
Lerne die Potenz- und Wurzelgesetze auswendig! Diese helfen dir beim Umformen und geben dir mehr Sicherheit! Die wichtigsten sind:
a) Umformen von Wurzel in Potenzen
>> [mm]\wurzel[q]{x^{p}} = x^{\bruch{p}{q}}[/mm].
Daraus ergibt sich der Spezialfall:
>> [mm]\wurzel{x^{p}} = x^{\bruch{p}{2}}[/mm].
b) Ein weiteres wichtiges Gesetz zum Umformen von Brüchen in Potenzen ist
>> [mm]\bruch{1}{a^{p}} = a^{-p}[/mm]
Ziel ist es nämlich vor dem Ableiten einer Funktion immer, die Funktion mit Hilfe dieser beiden Gesetze und der weiteren Potenzgesetze, die ich jetzt nicht aufführen möchte, in eine Potenz-Form zu bringen, sodass du sie mit der Potenzregel
>> [mm]\left(x_{n}\right)'=n*x^{n-1}[/mm]
ableiten kannst!
Zwei Beispiele:
1.) Dein obiges Beispiel:
[mm]f(x) = \wurzel[3]{x^{4}} = x^{\bruch{4}{3}}[/mm].
Wir haben die Funktion in "Potenzform" gebracht, nun können wir sie mit der Potenzregel ableiten:
[mm]f'(x) = \bruch{4}{3}*x^{\bruch{4}{3} - 1} = \bruch{4}{3}*x^{\bruch{1}{3}}[/mm].
2.) Ein weiteres Beispiel:
[mm]f(x) = \bruch{5}{\wurzel{x^{3}}}[/mm]
Zunächst wenden wir das Wurzel-Gesetz zum Umwandeln in Potenzen von oben an:
[mm]f(x) = \bruch{5}{\wurzel{x^{3}}} = \bruch{5}{x^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
Nun das Bruch-Gesetz, insgesamt lauten die Umformungen also:
[mm]f(x) = \bruch{5}{\wurzel{x^{3}}} = \bruch{5}{x^{\bruch{3}{2}}} = 5*\bruch{1}{x^{\bruch{3}{2}}} = 5*x^{-\bruch{3}{2}}[/mm].
Nun können wir leicht ableiten (Konstante Faktoren werden beim Ableiten nicht berücksichtigt, sondern einfach stehengelassen):
[mm]f'(x) = 5*\left(-\bruch{3}{2}\right)*x^{-\bruch{3}{2}-1} = \left(-\bruch{15}{2}\right)*x^{-\bruch{5}{2}}[/mm]
=============================================
> f(x) = x*e^-x -> f'(x) = -x*e^-x -> f''(x) = x*e^-x
> -> f'''(x) = -x*e^-x
Leider hast du recht. Die Rechnungen sind nicht richtig.
Du hast die Funktion
[mm]f(x) = x*e^{-x}[/mm].
Wenn du diese ableiten willst, muss dir zunächst einwas ins Auge springen: Wir haben es hier mit einem Produkt zu tun! Zum Ableiten reicht es also nicht, jeden Faktor einzeln abzuleiten, sondern es gilt die Produktregel fürs Ableiten zu benutzen!
Diese lautet
[mm]\left(u*v\right)' = u'*v+v*u'[/mm]
Wörtlich heißt das, man leitet ein Produkt von Funktionen ab indem man zuerst die eine ableitet und die andere einfach "unabgeleitet" dranmultipliziert danach die andere ableitet und die eine dranmultipliziert.
Auch hier rechne ich es dir mal für dein Beispiel vor: Für die Funktion
[mm]f(x) = x*e^{-x}[/mm]
wählen wir als [mm]u = x[/mm] und als [mm]v = e^{-x}[/mm]. Nun berechnen wir die Ableitungen von u und v:
[mm]u = x[/mm]
[mm]u' = (x)' = 1[/mm]
[mm]v = e^{-x}[/mm]
[mm]v' = \left(e^{-x}\right) = -e^{-x}[/mm]
v' haben wir mit Hilfe der Kettenregel gebildet. Nun müssen wir alles nur noch einsetzen und erhalten die Ableitung von [mm]f = u*v[/mm]:
[mm]f'(x) = (u*v)' = u'*v+u*v'[/mm]
[mm]= 1*e^{-x} + x*\left(-e^{-x}\right)[/mm]
[mm]= e^{-x} - x*e^{-x}[/mm]
Die zweite Ableitung kannst du ja selbst mal probieren  . Denke daran, dass du eine Summe ableitest, indem du die Summanden einzeln ableitest. Du wirst bei dem rechten Summanden wieder Produktregel anwenden müssen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:18 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Tazili |
Danke, ich werde heute sicher noch mit einigen Fragen kommen...
Aber dann mit Integralen...
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