Wurzeln aus Primzahlen lin. un < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] p_{1},...,p_{n}\in\mathbb{N} [/mm] paarweise verschiedene Primzahlen. Benutzen Sie Galoistheorie, um zu zeigen, dass [mm] \sqrt{p_{1}},...,\sqrt{p_{n}} [/mm] linear unabhängig sind über [mm] \mathbb{Q}.
[/mm]
Hinweis: Bestimmen Sie mittels Induktion nach n die Galoisgruppe und alle Zwischenkörper von [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{p_{1}},...,\sqrt{p_{n}})/\mathbb{Q}. [/mm] |
Liebe Forenmitglieder,
die oben gepostete Aufgabe beschäftigt mich.
Ich möchte mithilfe des Hinweises vorgehen und also die Galoisgruppe bestimmen.
Jetzt habe ich mir gedacht, ich bilde [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{p_{1}}), \mathbb{Q}(\sqrt{p_{1}},\sqrt{p_{2}}) [/mm] usw. und setze die Identität mithilfe der jeweiligen Minimalpolynome fort, die immer Grad 2 haben. Allerdings benütze ich dabei ja schon die zu zeigende Aussage, oder?
Mein zweiter Gedanke war, dass ich zeige, dass jede Funktion, die jedes [mm] \sqrt{p_{j}} [/mm] auf [mm] \pm\sqrt{p_{j}} [/mm] abbildet (und auf [mm] \mathbb{Q} [/mm] die Identität ist), Element der Galoisgruppe ist. Dann enthält die Galoisgruppe [mm] 2^{n} [/mm] Elemente.
Allerdings bin ich mir erstens nicht sicher, ob ich dabei nicht auch implizit verwende, dass die Wurzeln linear unabhängig sind.
Zum zweiten weiß ich, dass [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{p_{1}},...,\sqrt{p_{j+1}})/\mathbb{Q}(\sqrt{p_{1}},...\sqrt{p_{j}}) [/mm] nicht größer als 2 sein kann (weil [mm] (\sqrt{p_{j+1}})^{2}\in\mathbb{Q}) [/mm] und, wenn ich dann weiß, dass die Galoisgruppe [mm] 2^{n} [/mm] Elemente hat, muss jede der n Erweiterungen schon vom Grad 2 sein. Somit sind die Wurzeln der Primzahlen alle linear unabhängig. Dann hätte ich doch die Aufgabe ohne die Zwischenkörper (und ohne Galoistheorie) gezeigt?
Ich bitte euch um Rat.
LG
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Hi,
vorneweg: ich weiß nicht warum die Aufgaben einem wenig Freiraum lassen. Da es nun seit fast 2 Tagen keine Antwort gab, gebe ich dir eine, die dir vermutlich nur indirekt hilft 
Theorem: Für quadratfreie, paarweise relativ prime [mm]n_1,n_2,\ldots n_k[/mm] mit [mm]\sqrt{n_\ell}>1[/mm] sind [mm]\sqrt{n_1},\sqrt{n_2},\dotsc,\sqrt{n_k}[/mm] linear unabhängig über [mm]\IQ[/mm].
> Jetzt habe ich mir gedacht, ich bilde
> [mm]\mathbb{Q}(\sqrt{p_{1}}), \mathbb{Q}(\sqrt{p_{1}},\sqrt{p_{2}})[/mm]
> usw. und setze die Identität mithilfe der jeweiligen
> Minimalpolynome fort, die immer Grad 2 haben. Allerdings
> benütze ich dabei ja schon die zu zeigende Aussage, oder?
Beweis durch Induktion: (Man kann die Oberkörper ja als [mm]\IQ[/mm]-Vektorräume auffassen, da die entsprechenden Galoisgruppen elementar abelsch sind)
Für [mm]\IQ(\sqrt{n_1}),\IQ(\sqrt{n_1},\sqrt{n_2})[/mm] ist es leicht einzusehen (möglicherweise Bemerkung in Vorlesung)
Induktionsschritt
Wir setzen
[mm]A:=\IQ(\sqrt{n_1},\sqrt{n_2},\dotsc,\sqrt{n_{k-1}})[/mm]
und
[mm]B:=\IQ(\sqrt{n_1},\sqrt{n_2},\dotsc,\sqrt{n_{k-1}},\sqrt{n_{k}})[/mm]
Nach Induktionsvoraussetzung wissen wir dass die Erweiterungsgrade jeweils [mm]2^{k-1}[/mm] und [mm]2^k[/mm] sind.
Damit genügt es also zu zeigen, dass [mm]\sqrt{n_{k+1}}\not\in B[/mm] gilt.
Angenommen doch. Dann gibt es [mm]x,y\in A[/mm] mit [mm]\sqrt{n_{k+1}}=x+y\sqrt{n_{k}}[/mm]. Quadrieren ergibt aber
[mm]2*x*y*\sqrt{n_k} =\underbrace{ n_{k+1} - x^2 - y^2*n_k}_{\in A}[/mm]
Damit gibt es nun 3 Fälle:
- [mm]x=0[/mm]
Dann ist aber [mm]\sqrt{n_{k+1}}= y*\sqrt{n_k}[/mm]. Das heißt jedoch [mm]\sqrt{n_k*n_{k+1}} = y*n_k \in A[/mm]. Dann müsste aber [mm]2^k=2^{k-1}[/mm] gelten. Das passiert relativ selten
- [mm]y=0[/mm]
Heißt mit anderen Worten [mm]\sqrt{n_{k+1}} = x\in A[/mm]. Dann müsste aber wieder [mm]2^k=2^{k-1}[/mm] gelten. Noch so ein seltenes Ereignis.
- [mm]\sqrt{n_k}\in A[/mm] Das wiederum sagt [mm]A=B[/mm] als Vektorraum. Also auch ein Widerspruch aus Dimensionsgründen.
Diese Antwort ist immerhin besser als keine.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 So 06.01.2013 | | Autor: | ehjcuioe34 |
Ich möchte mich für deine Antwort bedanken und für meine späte Reaktion entschuldigen!
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Linearly Independent Integer Roots over the Scalar Field [mm]\IQ[/mm]
