Wurzelgleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Di 08.11.2011 | | Autor: | Cirax |
| Aufgabe | Zeige, dass folgende Gleichung wahr ist:
[mm] \wurzel{17-2\wurzel{72}}=3-2\wurzel{2}
[/mm]
Vereinfache entsprechend:
[mm] \wurzel{31+10\wurzel{6}} [/mm] |
Undzwar habe ich zuerst gezeigt, dass die Gleichung wahr ist, indem ich quadriert habe und dann ganz normal weiter aufgelöst habe.
[mm] \wurzel{17-2\wurzel{72}}=3-2\wurzel{2}
[/mm]
[mm] 17-12\wurzel{2}=9-12\wurzel{2}+8 [/mm]
[mm] 17-12\wurzel{2}=17-12\wurzel{2}
[/mm]
Aber jetzt weiß ich nicht, wie ich die 2.Gleichung entsprechend vereinfachen soll. Ich weiß zwar dass es [mm] (5+\wurzel{6})² [/mm] sein muss, weiß aber nicht wie der ausführliche Rechenweg ist.
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Hallo Cirax,
> Zeige, dass folgende Gleichung wahr ist:
> [mm]\wurzel{17-2\wurzel{72}}=3-2\wurzel{2}[/mm]
>
> Vereinfache entsprechend:
> [mm]\wurzel{31+10\wurzel{6}}[/mm]
> Undzwar habe ich zuerst gezeigt, dass die Gleichung wahr
> ist, indem ich quadriert habe und dann ganz normal weiter
> aufgelöst habe.
Das birgt die Gefahr, dass vielleicht die Seiten vorher unterschiedliche Vorzeichen hatten. Das ist hier zwar nicht der Fall, aber trotzdem musst Du Dich dagegen absichern.
Deine Rechnung würde ja genauso aussehen, wenn rechts [mm] 2\wurzel{2}-3 [/mm] gestanden hätte, aber dann wäre die Ausgangsgleichung nicht wahr gewesen!
> [mm]\wurzel{17-2\wurzel{72}}=3-2\wurzel{2}[/mm]
> [mm]17-12\wurzel{2}=9-12\wurzel{2}+8[/mm]
> [mm]17-12\wurzel{2}=17-12\wurzel{2}[/mm]
>
> Aber jetzt weiß ich nicht, wie ich die 2.Gleichung
> entsprechend vereinfachen soll. Ich weiß zwar dass es
> [mm](5+\wurzel{6})²[/mm] sein muss, weiß aber nicht wie der
> ausführliche Rechenweg ist.
Na dann setz doch mal wie folgt an:
[mm] \wurzel{31+10\wurzel{6}}=a+b\wurzel{6}
[/mm]
Nun bestimme a und b.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Di 08.11.2011 | | Autor: | Cirax |
Hallo reverend,
erstmal danke für die schnelle Antwort, aber ich blicke im Moment noch nicht durch.. wie kommt man auf die
$ [mm] \wurzel{31+10\wurzel{6}}=a+b\wurzel{6} [/mm] $
und wie bestimme ich nun a und b?
mfg
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Hallo nochmal,
> erstmal danke für die schnelle Antwort, aber ich blicke im
> Moment noch nicht durch.. wie kommt man auf die
> [mm]\wurzel{31+10\wurzel{6}}=a+b\wurzel{6}[/mm]
Auf die Idee solltest Du kommen, nachdem Du die erste Aufgabe richtig gerechnet hast.
> und wie bestimme ich nun a und b?
Na, genauso wie in der ersten Aufgabe. Beide Seiten quadrieren. Danach sortierst Du das in zwei Gleichungen, nämlich einmal nur mit den Vorfaktoren von [mm] \wurzel{6}, [/mm] und die andere nur mit ganzen Zahlen. Dabei sollst Du annehmen, dass a und b selbst ganze Zahlen sind.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Di 08.11.2011 | | Autor: | Cirax |
Nach dem Quadrieren steht:
[mm] 31+10\wurzel{6}=a²+2ab\wurzel{6}+6b² [/mm]
aber ich versteh immer noch nicht, wie du das mit den 2 Gleichungen meinst.
Die Vorfaktoren von [mm] \wurzel{6} [/mm] sind ja 10 und 2ab. Also 10=2ab?
mfg
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Hallo nochmal,
> Nach dem Quadrieren steht:
> [mm]31+10\wurzel{6}=a^2+2ab\wurzel{6}+6b^2[/mm]
Jo.
> aber ich versteh immer noch nicht, wie du das mit den 2
> Gleichungen meinst.
> Die Vorfaktoren von [mm]\wurzel{6}[/mm] sind ja 10 und 2ab. Also
> 10=2ab?
Genau.
Und die andere Gleichung heißt [mm] 31=a^2+6b^2.
[/mm]
Da ganzzahlige Lösungen gesucht sind, bist Du mit diesen beiden Gleichungen ja schnell fertig. Es gibt überhaupt nur 4 Möglichkeiten für (a,b), nämlich (-1,-5), (-5,-1), (1,5) und (5,1), aus der ersten Gleichung (10=2ab). Erfüllt eines dieser Paare die zweite Gleichung?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Cirax |
Vielen Dank!
Ich hab den Rechenweg soweit verstanden.
Noch eine letzte Frage: was setzt denn voraus, dass ganzzahlige Lösungen gesucht werden? Ich mein, wäre es nicht denkbar, dass zB 0,5 eine Lösung der Gleichung sein könnte?
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo cirax,
eine Kommazahl kann hier keine Lösung sein, da die linke Seite der Gleichung 31 sein soll und auf der rechten Seite Quadrate von a bzw. b auftauchen. Wenn die Lösung nicht ganzzahlig wäre, würde hier etwas mit Kommazahlen stehen, die sich nicht zu einem ganzzahligen Ergebnis addieren würden.
Viele Grüße,
Infinit
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