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Wurzelgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:56 Fr 03.06.2005
Autor: WeisNixxx

Nochmal Hallo

Wurzel (a+4b+4x) - Wurzel (a+4b-4x) = Wurzel (2(a-b))


Ich rechen daran schon seit einer Stunde, komme aber nicht auf das Ergebnis das im Buch steht

Gruß
WeisNixxx



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Wurzelgleichung: Erste Schritte: quadrieren
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:02 Fr 03.06.2005
Autor: Roadrunner

Hallo weisnixxx!


[willkommenmr]


Meinst Du folgende Gleichung:

[mm] $\wurzel{a+4b+4x} [/mm] - [mm] \wurzel{a+4b-4x} [/mm] \ = [mm] \wurzel{2(a-b)}$ [/mm]


Nun, zunächst werden wir diese Gleichung quadrieren, d.h. auf beiden Seiten "hoch 2 nehmen".

[aufgemerkt] Dabei müssen wir aber beachten, daß es sich hier nicht um eine Äquivalenzumformung handelt. Daher müssen wir am Ende unbedingt die Probe machen!

[mm] $\red{\Rightarrow}$ [/mm]

[mm] $\left(\wurzel{a+4b+4x} - \wurzel{a+4b-4x}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\wurzel{2(a-b)}\right)^2$ [/mm]


Nun ausmultiplizieren. Dabei auf der linken Seite 2. binomische Formel beachten bzw. anwenden: [mm] $(m-n)^2 [/mm] \ = \ [mm] m^2 [/mm] - 2mn + [mm] n^2$ [/mm]

[mm] $\left(\wurzel{a+4b+4x}\right)^2 [/mm] - [mm] 2*\wurzel{a+4b+4x}*\wurzel{a+4b-4x} [/mm] + [mm] \left(\wurzel{a+4b-4x}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\wurzel{2(a-b)}\right)^2$ [/mm]

$a+4b+4x - [mm] 2*\wurzel{[(a+4b)+4x]*[(a+4b)-4x]} [/mm] + a+4b-4x \ = \ 2(a-b)$


Nun fassen wir etwas zusammen und können innerhalb der Wurzel die 3. binomische Formel anwenden mit: $(m+n)*(m-n) \ = \ [mm] m^2-n^2$ [/mm]

Dabei sind $m \ := \ (a+4b)$  und  $n \ := \ 4x$

$2a+8b - [mm] 2*\wurzel{(a+4b)^2-(4x)^2} [/mm] \ = \ 2a-2b$

$2a+8b - [mm] 2*\wurzel{(a+4b)^2-16x^2} [/mm] \ = \ 2a-2b$   $| \ -2a + 2b + [mm] 2*\wurzel{(a+4b)^2-16x^2}$ [/mm]

$10b \ = \ [mm] 2*\wurzel{(a+4b)^2-16x^2}$ [/mm]   $| \ : 2$

$5b \ = \ [mm] \wurzel{(a+4b)^2-16x^2}$ [/mm]


Und nochmal quadrieren ...

[mm] $(5b)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(\wurzel{(a+4b)^2-16x^2}\right)^2$ [/mm]

[mm] $25b^2 [/mm] \ = \ [mm] (a+4b)^2-16x^2$ [/mm]

[mm] $25b^2 [/mm] \ = \ [mm] a^2+8ab+16b^2-16x^2$ [/mm]   $| \ [mm] +16x^2 [/mm] - [mm] 25b^2$ [/mm]

[mm] $16x^2 [/mm] \ = \ [mm] a^2+8ab-9b^2$ [/mm]


Schaffst Du es von nun an allein weiter? Erhältst Du Dein vorgegebenes Ergebnis?


Gruß vom
Roadrunner


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