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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Do 06.03.2014 | | Autor: | mh4_Luv |
| Aufgabe | | [mm] \wurzel{2x-1} [/mm] + x = 0 |
Hallo,
ich habe eine Frage zu der Aufgabe, als Lösung wird im Buch -1 angegeben, jedoch muss ich dann irgendwo einen Vorzeichenfehler haben, denn bei mir kommt, egal wie oft ich es durchrechne immer 1 raus.
kann mir jemand eventuell sagen wo mein Fehler ist?
Mein Rechenweg:
[mm] \wurzel{2x^{2}-1} [/mm] + x = 0 |( )²
[mm] 2x^{2}-1 [/mm] + [mm] 2x*\wurzel{2x^{2}-1} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] = 0 > (Binom)
[mm] 3x^{2}-1 [/mm] = [mm] -2x*\wurzel{2x^{2}-1} [/mm] |( )²
[mm] 9x^{4}-6x^{2}+1 [/mm] = [mm] 4x^{2}(2x^{2}-1) [/mm] = [mm] 8x^{4} [/mm] - [mm] 4x^{2} [/mm] | [mm] -8x^{4}+4x^{2}
[/mm]
[mm] x^{4}-2x^{2}+1
[/mm]
anschließend substituieren, p/q-Formel: 1 [mm] \pm \wurzel{1-1} [/mm] = [mm] \wurzel{0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x= 1
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Do 06.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\wurzel{2x-1}[/mm] + x = 0
> Hallo,
> ich habe eine Frage zu der Aufgabe, als Lösung wird im
> Buch -1 angegeben,
das ist aber Unsinn:
[mm] $\sqrt{2*(-1)-1}=\sqrt{-3}$ ($\widehat{= }\;3*i$)
[/mm]
Wobei ich unten sehe:
Du hast hier wohl ein [mm] $\red{{\;}^2}$ [/mm] (Quadrat) vergessen!
> jedoch muss ich dann irgendwo einen
> Vorzeichenfehler haben, denn bei mir kommt, egal wie oft
> ich es durchrechne immer 1 raus.
aber: [mm] $\sqrt{2*1^2-1}+1=2 \not=0$
[/mm]
> kann mir jemand eventuell sagen wo mein Fehler ist?
>
> Mein Rechenweg:
> [mm]\wurzel{2x^{2}-1}[/mm] + x = 0 |( )²
Das ist ungünstig - bringe den Wurzelterm erst auf eine Seite und
quadriere danach:
[mm] $\sqrt{2x^2-1}+x=0$
[/mm]
[mm] $\red{\Longrightarrow}$ $(\sqrt{2x^2-1})^2=(-x)^2$
[/mm]
Frage an Dich: Dürfte ich hier einfach direkt auch
[mm] $\Longleftarrow$
[/mm]
dazuschreiben - also aus [mm] $\red{\Longrightarrow}$ [/mm] ein [mm] $\red{\iff}$ [/mm] machen?
[Hinweis: Aus [mm] $a^2=b^2$ [/mm] folgt [mm] $|a|=|b|\,,$ [/mm] und nur [mm] $a=b\,,$ [/mm] wenn [mm] $a,b\,$ [/mm] auch
das gleiche Vorzeichen haben! Allgemeiner (hier dürfte ich auch jedes
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] durch [mm] $\gdw$ [/mm] ersetzen!):
[mm] $a^2=b^2$ $\Rightarrow$ [/mm] $(a+b)*(a-b)=0$
[mm] $\Rightarrow$ $a=b\,$ [/mm] oder [mm] $a=-b\,.$]
[/mm]
Okay, aber bei Dir geht das hier noch:
[mm] $\sqrt{2x^2-1}+x=0$
[/mm]
[mm] $\iff$
[/mm]
> [mm]2x^{2}-1[/mm] + [mm]2x*\wurzel{2x^{2}-1}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] = 0 > (Binom)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]3x^{2}-1[/mm] = [mm]-2x*\wurzel{2x^{2}-1}[/mm] |( )²
Wieder, wie gesagt:
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] funktioniert, aber ob [mm] $\Leftarrow$, [/mm] was Du ja auch brauchst, funktioniert,
das ist an der Stelle unklar. Genauer sagst Du hier:
Wenn
[mm] $3x^{2}-1=-2x*\sqrt{2x^2-1}$
[/mm]
gilt, dann folgt notwendig:
> [mm]9x^{4}-6x^{2}+1[/mm] = [mm]4x^{2}(2x^{2}-1)[/mm] = [mm]8x^{4}[/mm] - [mm]4x^{2}[/mm] |
> [mm]-8x^{4}+4x^{2}[/mm]
> [mm]x^{4}-2x^{2}+1[/mm]
> anschließend substituieren, p/q-Formel: 1 [mm]\pm \wurzel{1-1}[/mm]
> = [mm]\wurzel{0}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x= 1
Also schauen wir nochmal: Am Ende hast Du
[mm] $x^4-2x^2+1=0\,.$
[/mm]
Dann setzt Du
[mm] $z:=x^2$
[/mm]
und bekommst erstmal "formal"
[mm] $x^2=z=1 \pm \sqrt{1^2-1}=1\,.$
[/mm]
(Das könntest Du dank der zweiten bin. Formel auch schneller haben!)
Dann sagst Du:
Okay, [mm] $x^2 \ge 0\,,$ [/mm] also kann
$z=-1$
nur notwendig sein - aber keinesfalls hinreichend.
Es muss also nur noch
[mm] $x^2=z=1$
[/mm]
in notwendiger Weise gelten (weil [mm] $x^2=-1$ [/mm] *unmöglich* ist für $x [mm] \in \IR$):
[/mm]
Also ich weiß, dass
[mm] $x^2=1$
[/mm]
nicht nur [mm] $x=1\,$ [/mm] als Lösungswert hat - es gilt doch sowas tolles wie
[mm] $x^2=p$ $\iff$ $(x+\sqrt{p})*(x-\sqrt{p})=0$
[/mm]
für $p [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
Bei Dir ist speziell [mm] $p=1\,.$ [/mm]
Und jetzt nochmal zusammenfassend: Du wirst dann
[mm] $\wurzel{2x^2-1}+x= [/mm] 0$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x [mm] \in \{-1,\;1\}$
[/mm]
nachgewiesen haben. Bezeichnen wir mit
[mm] $\IL$
[/mm]
die Lösungsmenge aller reellen [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $\sqrt{2x^2-1}+x=0\,,$ [/mm] so hast Du dann
[mm] $\IL$ $\subseteq$ $\{-1,\;1\}$
[/mm]
nachgerechnet. Wie bekomme ich damit jetzt [mm] $\IL$ [/mm] konkret heraus?
Hinweis: Du brauchst Dir bei den Umformungen nicht wirklich jetzt durch
Fallunterscheidungen Gedanken zu machen, wann man bei den [mm] $\Rightarrow$ [/mm] einfach
auch [mm] $\Leftarrow$ [/mm] dazuschreiben darf. Das kann man machen. Aber es geht
auch einfacher: Wir wissen doch, dass wegen
[mm] $\IL$ $\subseteq$ $\{-1,\;1\}$
[/mm]
nur maximal zwei Werte in [mm] $\IL$ [/mm] liegen können: Welche das sind, das können
wir herausfinden, indem wir diese zwei Werte zum Test in die Ursprungsgleichung
[mm] $\sqrt{2x^2*-1}+x=0$
[/mm]
einsetzen und gucken, ob diese dann gilt oder eben nicht.
P.S. Ich habe an manchen Stellen Deine Ursprungsgleichung falsch zitiert
gehabt und das nun nachgebessert - es kann aber sein, dass ich was
übersehen habe. Also, wenn Dir oder sonst jemanden das auffällt: Teilt
mir einfach kurz etwa per PM die entsprechende Stelle mit oder weist kurz
in einer Mitteilung darauf hin, dass da noch etwas nachzubessern ist.
*Inhaltlich* ist das aber eigentlich unwesentlich...
Gruß,
Marcel
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