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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Do 16.07.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil von [mm] \sqrt{−7 + 24i} [/mm] mit dem Ansatz [mm] \sqrt{|r|}*e^{\bruch{i*\phi}{2}}
[/mm]
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Hi!
Eigentlich ist die Aufgabe ja nicht so schwer, dennoch komme ich gerade beim Umrechnen etwas ins straucheln:
z = [mm] \sqrt{−7 + 24i} \Rightarrow [/mm] r = [mm] \sqrt{49+24^2} [/mm] = [mm] \sqrt{625} [/mm] = 25
cos [mm] \phi [/mm] = [mm] \bruch{a}{r} [/mm] = [mm] \bruch{-7}{25} [/mm] = 106,36
1. Frage: Da [mm] \phi [/mm] ja ein Winkel ist, muss ich hier nun erstmal nichts umrechnen oder? Also von wegen Bogenmaß und so.
z = [mm] \sqrt{25}*e^{\bruch{i*\phi}{2}} [/mm] = [mm] 5*e^{53,12i}
[/mm]
Nun muss ich diese Exponentialform wieder in kartesische Koordinaten bringen, dafür gilt doch:
z = r · (cos [mm] \phi [/mm] + i sin [mm] \phi)
[/mm]
Nur welches r muss ich hier nun benutzen? r = 25 wäre doch eigentlich unsinnig, dann hätte sich ja nichts geändert.
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Hallo Pille456,
> Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil von [mm]\sqrt{−7 + 24i}[/mm]
> mit dem Ansatz [mm]\sqrt{|r|}*e^{\bruch{i*\phi}{2}}[/mm]
>
> Hi!
>
> Eigentlich ist die Aufgabe ja nicht so schwer, dennoch
> komme ich gerade beim Umrechnen etwas ins straucheln:
> z = [mm]\sqrt{−7 + 24i} \Rightarrow[/mm] r = [mm]\sqrt{49+24^2}[/mm] =
> [mm]\sqrt{625}[/mm] = 25
> cos [mm]\phi[/mm] = [mm]\bruch{a}{r}[/mm] = [mm]\bruch{-7}{25}[/mm] = 106,36
> 1. Frage: Da [mm]\phi[/mm] ja ein Winkel ist, muss ich hier nun
> erstmal nichts umrechnen oder? Also von wegen Bogenmaß und
> so.
> z = [mm]\sqrt{25}*e^{\bruch{i*\phi}{2}}[/mm] = [mm]5*e^{53,12i}[/mm]
>
Der Winkel [mm]\phi[/mm] wird üblicherweise im Bogenmaß angegeben.
> Nun muss ich diese Exponentialform wieder in kartesische
> Koordinaten bringen, dafür gilt doch:
> z = r · (cos [mm]\phi[/mm] + i sin [mm]\phi)[/mm]
> Nur welches r muss ich hier nun benutzen? r = 25 wäre
> doch eigentlich unsinnig, dann hätte sich ja nichts
> geändert.
Dieses r ist die Wurzel aus dem r von oben.
[mm]r=\wurzel{\vmat{-7+24i}}=\wurzel{25}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Do 16.07.2009 | | Autor: | Pille456 |
Ah alles klar, danke für die schnelle Antwort. Hatte sowas schon vermutet und das ist auch eigentlich das einzige was Sinn macht - danke!
Der Realteil ist gerundet 3 und der Imaginärteil gerundet 4. Der Ansatz ganz normal mit Realteil = r*cos [mm] \phi [/mm] = 5*cos 53,13°, analoges mit Sinus beim Imaginärteil
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Hallo Pille456,
> Ah alles klar, danke für die schnelle Antwort. Hatte sowas
> schon vermutet und das ist auch eigentlich das einzige was
> Sinn macht - danke!
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> Der Realteil ist gerundet 3 und der Imaginärteil gerundet
> 4. Der Ansatz ganz normal mit Realteil = r*cos [mm]\phi[/mm] = 5*cos
> 53,13°, analoges mit Sinus beim Imaginärteil
Nun, wenn Du mit dem exakten Winkel rechnest,
dann kommst auch auf diese "glatten" Zahlen.
Gruß
MathePower
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> Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil von [mm]\sqrt{−7 + 24i}[/mm]
> mit dem Ansatz [mm]\sqrt{|r|}*e^{\bruch{i*\phi}{2}}[/mm]
Da ist etwas nicht ganz klar. Ist jetzt
$ [mm] \sqrt{7 + 24i} [/mm] $ oder $ [mm] \sqrt{-7 + 24i} [/mm] $ gesucht ?
Ich denke, dass da aus unerfindlichem Grund
ein Minuszeichen verschwunden ist.
> Hi!
>
> Eigentlich ist die Aufgabe ja nicht so schwer, dennoch
> komme ich gerade beim Umrechnen etwas ins straucheln:
> z = [mm]\sqrt{−7 + 24i} \Rightarrow[/mm] r = [mm]\sqrt{49+24^2}[/mm] =
> [mm]\sqrt{625}[/mm] = 25
> cos [mm]\phi\ =\ \bruch{a}{r}\ =\ \bruch{-7}{25}\red{\ =\ 106,36}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das kann man nicht so schreiben.
Es ist [mm] cos(\phi)=\bruch{-7}{25} [/mm] (falls oben die
zweite Variante zutreffend war)
und [mm] $\phi\ [/mm] =\ [mm] arccos(\bruch{-7}{25})\ \approx\ 106.26^{\circ}$.
[/mm]
> 1. Frage: Da [mm]\phi[/mm] ja ein Winkel ist, muss ich hier nun
> erstmal nichts umrechnen oder? Also von wegen Bogenmaß und
> so.
> z = [mm]\sqrt{25}*e^{\bruch{i*\phi}{2}}[/mm] = [mm]5*e^{\red{53,12}i}[/mm]
An dieser Stelle brauchst du unbedingt das Bogenmass !
> Nun muss ich diese Exponentialform wieder in kartesische
> Koordinaten bringen, dafür gilt doch:
> z = r · (cos [mm]\phi[/mm] + i sin [mm]\phi)[/mm]
> Nur welches r muss ich hier nun benutzen?
> r = 25 wäre doch eigentlich unsinnig, dann hätte sich
> ja nichts geändert.
Allerdings. Aber du hast ja vorher die Wurzel bereits
gezogen ! Die gesuchte Wurzel hat also den Radius 5
und den Polarwinkel [mm] \approx 53.13^{\circ}.
[/mm]
LG
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