Wurzel im Nenner integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hi,
ich muss folgendes integral lösen:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{(\wurzel{x^2+a^2+z^2})^3}dx}
[/mm]
habs mit allen möglichen substitutionen versucht aber das wird nur komplizierter. vllt habt ihr n tipp? ich hoffe es geht ohne die trigonometrie. vllt partiell?
schöne grüße
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Hallo,
da muss ich dich leider enttäuschen. Du kommst hier nicht ohne trigonometrie aus.
Die Substitution
[mm] x:=\wurzel{a^2+z^2}*tan(u) [/mm]
bringt dich mehr oder weniger schnell und mehr oder weniger schmerzfrei zum Ziel.
Lg
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hi,
danke für deine antwort. aber ich versteh deine substitution nich. bzw deinen ansatz. mir is die substitution so bekannt: man definiert sich ne neue variable (zb. u) und nich die alte (x). also u=... dann du/dx=... <=> dx=... evtl x=... dann alles einsetzen und integral lösen. warum hast du denn x neu definiert? könntest du das vllt auf meine art schreiben? oda mir erklären, wie es nach deiner geht? ^^
schöne grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Do 22.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Reicheinstein!
Ich habe obigen Tipp nun nicht kontrolliert.
Aber äquivalent dazu wäre folgende Substitution:
$$u \ := \ [mm] \arctan\left(\bruch{x}{\wurzel{a^2+z^2}}\right)$$
[/mm]
Damit könntest Du Deinen gewohnten Weg beschreiten.
Einfacher geht es aber mit obiger Darstellung, wenn man dann rechnet:
$$x' \ = \ [mm] \bruch{dx}{du} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \wurzel{a^2+z^2}*\tan(u) \ \right]' [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Do 22.04.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo Loddar,
wie du schon schriebst, ist deine Substitution equivalent zu meiner.
@Reicheinstein : Es sollte ein relativ einfaches trigonometrisches Integral à la [mm] \integral{\bruch{cos(u)}{irgendwas}du} [/mm] herauskommen.
Lg
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hi,
danke für den tipp. ich werd das ma morgen probieren. aba ich hab jetzt trotzdem schonma ne frage: was bringt mir das x'? vllt kann mir einer diese art der substitution n bissl erklären... außerdem müsste ich dann tan(u) ableiten und das wär ja [mm] sec^2(u). [/mm] wie rechne ich denn dann damit weiter?
schöne grüße
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Hallo,
naja das Substitutions-Verfahren läuft doch eigentlich immer nach dem gleichen Schema ab.
Du subsitutierst zuerst die Variable und musst danach natürlich noch das Differential subsituieren, das erreichst du durch ableiten der Substitutionsvariablen, also hier
[mm] x:=\wurzel{a^2+z^2}tan(u)
[/mm]
[mm] \bruch{dx}{du}=\wurzel{a^2+z^2}sec^2(u) \gdw dx=\wurzel{a^2+z^2}sec^2(u)du
[/mm]
So das ganze nun in die Integral einsetzen, ein wenig vereinfachen und du hast es.
Das kriegst du hin !
Lg
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hm, diese vorgehensweise war mir bisher nicht bekannt aber ich werde mich ma morgen dran versuchen und wenn ich scheiter frag ich einfach euch nochma ;)
danke und schöne grüße
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hi,
ich hab das jetzt mal gemacht und bin dann tatsächlich auf das integral
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{cos(u)}{a^2+z^2}}du [/mm] gekommen. nach der rücksubstitution hab ich dann
[mm] \bruch{1}{a^2+z^2} [sin(arctan(\bruch{x}{\sqrt{a^2+z^2}}))] [/mm]
[mm] sin(arctan(x))=\bruch{x}{\sqrt{x^2+1}} [/mm] => [mm] \bruch{x}{(a^2+z^2)\sqrt{x^2+a^2+z^2}} [/mm] :)
vielen dank!!!
schöne grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:43 Sa 24.04.2010 | | Autor: | MontBlanc |
hallo,
das stimmt! ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]") . gern geschehen.
lg
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