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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Sa 10.12.2011 | | Autor: | piet86 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm] z^4 [/mm] = [mm] -\wurzel{2}-\wurzel{2}i
[/mm]
und skizzieren Sie die Lösung in der komplexen Zahlenebene. |
Da die Hochzahl von z n=4 ist, haben wir 4 Lösungen mit Laufindex K=0;1;2;3
[mm] z_{k}^n [/mm] = [mm] \wurzel[n]{re^{{\alpha}i+{2k\pi}i}}
[/mm]
Dabei ist r der Betrag. Da habe ich r=2 raus.
Der Winkel muss 90°+45° sein. Also 135° bzw [mm] \bruch{\pi}{2}+\bruch{\pi}{4}
[/mm]
[mm] \alpha=\bruch{3\pi}{4}
[/mm]
Daraus ergeben sich folgende 4 Lösungen:
1)
[mm] \wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {3\pi}{16}+0}
[/mm]
2)
[mm] \wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {3\pi}{16}+i\bruch {\pi}{2}} [/mm]
bzw.
[mm] \wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {11\pi}{16}}
[/mm]
[mm] 3)\wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {3\pi}{16}+i{\pi}} [/mm]
bzw.
[mm] \wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {19\pi}{16}}
[/mm]
4)
[mm] \wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {3\pi}{16}+i\bruch {3\pi}{2}} [/mm]
bzw.
[mm] \wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {27\pi}{16}}
[/mm]
Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß, wie ich meine Lösungen in die komplexe Zahlenebene eintragen soll.
Ich weiß zwar, dass [mm] re^{{\alpha}i} [/mm] = [mm] r(cos(\alpha)+i sin(\alpha) [/mm] ist, aber Taschenrechner ist nicht erlaubt und eine Tabelle für die Winkel ist auch nicht gegeben.
Gibt es da irgendeinen Trick wie man sonst die Lösungen in die Komplexe Zahleneben eintragen kann?
Gruß
Piet
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Hallo piet86,
> Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung [mm]z^4[/mm] =
> [mm]-\wurzel{2}-\wurzel{2}i[/mm]
> und skizzieren Sie die Lösung in der komplexen
> Zahlenebene.
> Da die Hochzahl von z n=4 ist, haben wir 4 Lösungen mit
> Laufindex K=0;1;2;3
>
> [mm]z_{k}^n[/mm] = [mm]\wurzel[n]{re^{{\alpha}i+{2k\pi}i}}[/mm]
>
> Dabei ist r der Betrag. Da habe ich r=2 raus.
> Der Winkel muss 90°+45° sein. Also 135° bzw
> [mm]\bruch{\pi}{2}+\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
Über den Winkel mußt Du nochmal nachdenken.
> [mm]\alpha=\bruch{3\pi}{4}[/mm]
>
> Daraus ergeben sich folgende 4 Lösungen:
> 1)
> [mm]\wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {3\pi}{16}+0}[/mm]
> 2)
> [mm]\wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {3\pi}{16}+i\bruch {\pi}{2}}[/mm]
> bzw.
> [mm]\wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {11\pi}{16}}[/mm]
> [mm]3)\wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {3\pi}{16}+i{\pi}}[/mm]
> bzw.
> [mm]\wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {19\pi}{16}}[/mm]
> 4)
> [mm]\wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {3\pi}{16}+i\bruch {3\pi}{2}}[/mm]
> bzw.
> [mm]\wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {27\pi}{16}}[/mm]
>
> Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß, wie ich meine
> Lösungen in die komplexe Zahlenebene eintragen soll.
> Ich weiß zwar, dass [mm]re^{{\alpha}i}[/mm] = [mm]r(cos(\alpha)+i sin(\alpha)[/mm]
> ist, aber Taschenrechner ist nicht erlaubt und eine Tabelle
> für die Winkel ist auch nicht gegeben.
> Gibt es da irgendeinen Trick wie man sonst die Lösungen
> in die Komplexe Zahleneben eintragen kann?
> Gruß
> Piet
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Sa 10.12.2011 | | Autor: | piet86 |
Hallo Mathepower
Du hast recht ich habe den falschen Winkel gewählt. Bin im Quadranten verrutscht.
Der richtige Winkel müsste also 180°+45° sein.
D.h. im Bogenmaß: [mm] \pi+\bruch {\pi}{4}=\bruch {5\pi}{4}
[/mm]
Daraus ergeben sich folgende 4 Lösungen:
1)
[mm] \wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {5\pi}{16}+0}
[/mm]
2)
[mm] \wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {5\pi}{16}+i\bruch {\pi}{2}}
[/mm]
bzw.
[mm] \wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {13\pi}{16}}
[/mm]
[mm] 3)\wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {5\pi}{16}+i{\pi}}
[/mm]
bzw.
[mm] \wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {21\pi}{16}}
[/mm]
4)
[mm] \wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {5\pi}{16}+i\bruch {3\pi}{2}}
[/mm]
bzw.
[mm] \wurzel[4]{2}* e^{i\bruch {29\pi}{16}}
[/mm]
Mein Problem bleibt bestehen, dass ich ohne Hilfsmittel die Lösungen nicht in die komplexe Zahlenebene eintragen kann. Gibt es nicht irgendeinen Trick oder habe ich wieder etwas übersehen?
Gruß
Piet
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Hallo Piet,
es gibt ein paar Werte des Sinus und Cosinus, die man jederzeit auswendig können sollte. Im Gradmaß sind es die für 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Manche wissen auch noch die für fünfzählige Symmetrien und den goldenen Schnitt nützlichen 18°, 36°, 54°, 72°, aber das ist eher selten. Im übrigen genügt es sogar, sich auf die Hälfte davon zu beschränken, dann ist der Rest ja rekonstruierbar. Und wenn Du von dieser Hälfte jeweils nur den Sinus oder nur den Cosinus weißt, ist immer noch jeder andere Wert zu finden.
Hier ein paar Werte, die man wissen sollte:
[mm] \sin{0\{\circ}}=0
[/mm]
[mm] \sin{30^{\circ}}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \sin{45^{\circ}}=\bruch{1}{2}\wurzel{2}
[/mm]
[mm] \sin{60^{\circ}}=\bruch{1}{2}\wurzel{3}
[/mm]
Evtl. eben noch:
[mm] \sin{18^{\circ}}=\bruch{\wurzel{5}-1}{4}
[/mm]
[mm] \blue{\cos}{36^{\circ}}=\bruch{\wurzel{5}+1}{4}
[/mm]
Ohne jedes Additionstheorem kannst Du aus diesen 6 Werten fast mühelos die Sinus- und Cosinuswerte für 0°, 18°, 30°, 36°, 45°, 54°, 60°, 72°, 90°, 108°, 120°, 126°, 135°, 144°, 150°, 162°, 180°, 198°, 210°, 216°, 225°, 234°, 240°, 252°, 270°, 288°, 300°, 306°, 315°, 324°, 330° und 342° herleiten, wenn nicht gar ablesen. 
Mit Additionstheoremen kannst Du sogar ziemlich leicht in Schritten von 3° vorangehen. Damit findest Du immer eine akzeptable Näherung.
Deswegen musst Du eben wenigstens die ersten vier der oben genannten Werte auswendig können. Damit kannst Du auch Deine Aufgabe dann bequem lösen.
Grüße
reverend
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