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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Benja91 |
| Aufgabe | | Berechnen und zeichnen sie alle 5ten Wurzeln von -4+4i |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt:
Nun brauche ich ja erstmal das Argument ∂. [mm] ∂=Arctg(-4/4)=\bruch{\pi}{4} [/mm] .
Nun habe ich dazu zwei Fragen. In der Lösung wird nun folgendermaßen weitergerechnet:
[mm] √2*(cos(\bruch{3*(\pi/4)}{5}+\bruch{2\pi*k}{5}))
[/mm]
Warum rechne ich hier ausgerechnet mit [mm] 3*(\pi/4)? [/mm] Es hängt ja sicherlich damit zusammen, dass die Zahl im 2. Quadranten liegt, aber warum ausgerechnet [mm] 3*(\pi/4).
[/mm]
Meine zweite Frage ist folgende: Mir ist nicht klar, wie ich es nun zeichnen kann. Die Lösungen liegen ja alle auf einem Kreis mit Radius √2. Nun habe ich hier ja 5 Wurzeln --> 5 Eck. Aber wie bekomme ich die Lösungen für die x und y Werte der einzelnen Lösungen?
Vielen Dank und Gruß
Benja
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Hallo!
Um die Wurzel zu berechnen, benötigst du den Winkel, den die Zahl mit der positiven reellen Achse einschließt. Und das sind in diesem Fall 135° bzw [mm] \frac{3}{4}\pi [/mm] . der ARCTAN gibt dir leider immernur den kleineren der beiden Winkel an, die beim Schnitt zweier Graden entstehen. Hier ist aber der größere gefragt.
Da die gesuchte Zahl fünf mal mit sich selbst multipliziert die gegebene Zahl ergibt, beträgt ihr Winkel auch nur 1/5. Daher insgesamt: [mm] \frac{3}{4*5}\pi
[/mm]
Den x-Wert bekommst du mit der von dir geschriebenen Formel:
[mm] x=\sqrt{2}\cos\left(\frac{3}{4*5}\pi\right) [/mm]
Den y-Wert mit dem SIN statt dem COS. Aber im Prinzip kannst du doch nen Kreis zeichnen, und dann direkt mit dem Geodreieck den Winkel abtragen. Das ist einfacher, als die xy-Werte zu berechnen und zu suchen.
Zu den anderen Werten (im Gradmaß, damit läßt sich einfacher rechnen, und es ist Geodreieckfreundlicher):
Die gefundene Lösung hat einen Winkel von 27°. Denn 5*27°=135°
Aber die Lösung könnte auch einen größeren Winkel haben, sodaß 5*x=135°+360° gilt, denn das entspricht ja immernoch 135°. Wie groß ist der Winkel x in dem Fall? Das ist deine zweite Lösung.
Weiter: 5*x=135°+2*360° ...
Die sechse Lösung sollte 27°+360°=387° sein, aber das entspricht der ersten Lösung. Diese und alle folgenden fallen also weg, weil sie mit den ersten 5 Lösungen zusammen fallen.
Nachdem du zu Fuß die fünf Lösungen berechnet hast, sollte dir auch klar sein, wie die mit dem [mm] \frac{2\pi k}{5} [/mm] zusammen hängen. (Oder war dir das klar?)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:02 Mi 18.01.2012 | | Autor: | Benja91 |
Hallo,
vielen, vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Das hat mir wirklich sehr geholfen, morgen schreibe ich nämlich meine Matheklausur :)
Gruß
Benja
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