Würfelwurf n-mal < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Sa 24.04.2010 | | Autor: | eldorado |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für alle n [mm] \in \IN [/mm] einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum ( Ω, [mm] \mathcal{A}, [/mm] P) zur Beschreibung des Zufallsexperiments "n maliges Werfen eines unverfälschten Würfels". Beschreiben sie die folgenden Ereignisse Mengentheoretisch (als Teilmengen in Ω ) und berechnen sie deren Wahrscheinlichkeiten:
- [mm] A_{k} [/mm] "der k-te Wurf ergibt 3" (1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n)
- [mm] B_{k} [/mm] "der k-te Wurf ergibt die erste 3" (1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n)
- [mm] C_{k} [/mm] "der k-te und der (k+1)-te Wurf ergeben die ersten beiden 3er" (1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n)
- D "es wird genau eine 3 geworfen"
- E "es wird min. eine 3 geworfen"
- F "es wird keine 3 geworfen"
- G "es wird keine 3 geworfen oder es wird keine 4 geworfen"
- H "höchstens ein Wurf ergibt eine Zahl kleiner als 3"
Welche der Ereignisse [mm] B_{k}, C_{k}, [/mm] D, E, F, G, H lassen sich mit Hilfe mengentheoretischer Operationen durch die [mm] A_{k} [/mm] ausdrücken, gegebenenfalls: wie? |
Hallo
ich denke zum größten Teil hab ichs, hoff das stimmt so, aber wär nett wenn jemand mal drüberschauen könnte und bei den Lücken helfen könnte.
Ω = { [mm] (w_{1},...,w_{n}) \in [/mm] {1;2;3;4;5;6} ^{n} }
[mm] \mathcal{A} [/mm] = [mm] \mathcal{P} [/mm] (Ω)
P = [mm] \bruch{1}{6^{n}} [/mm] (Gleichverteilung)
- [mm] A_{k} [/mm] = { [mm] (w_{1},..., w_{k-1}, w_{k}, w_{k+1},...,w_{n}) \in [/mm] Ω | [mm] w_{k}=3 [/mm] } (was ist mit den Fällen k=1, k=n ?) [mm] P(A_{k})= \bruch{1}{6}
[/mm]
- [mm] B_{k} [/mm] = { [mm] (w_{1},..., w_{k-1}, w_{k}, w_{k+1},...,w_{n}) \in [/mm] Ω | [mm] (w_{1},..., w_{k-1}) \not= [/mm] 3, [mm] w_{k}=3 [/mm] } [mm] P(B_{k})= (\bruch{5}{6})^{k-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
- [mm] C_{k}= [/mm] { [mm] (w_{1},..., w_{k-1}, w_{k}, w_{k+1},...,w_{n}) \in [/mm] Ω | [mm] (w_{1},..., w_{k-1}) \not= [/mm] 3, [mm] (w_{k}, w_{k+1})=3 [/mm] } [mm] P(C_{k})= (\bruch{5}{6})^{k-1} [/mm] * [mm] (\bruch{1}{6})^{2}
[/mm]
- D = { [mm] (w_{1},..., w_{k-1}, w_{k}, w_{k+1},...,w_{n}) \in [/mm] Ω | genau ein [mm] w_{i}, [/mm] i=1,...,n ist 3 } P(D)= [mm] (\bruch{5}{6})^{n-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] *n
- E = { [mm] (w_{1},..., w_{k-1}, w_{k}, w_{k+1},...,w_{n}) \in [/mm] Ω | min. ein [mm] w_{i} [/mm] , i=1,...,n ist 3 } P(E)= [mm] 1-(\bruch{5}{6})^{n}
[/mm]
- F = { [mm] (w_{1},..., w_{k-1}, w_{k}, w_{k+1},...,w_{n}) \in [/mm] Ω | [mm] (w_{1},...,w_{n}) \not= [/mm] 3} P(F)= [mm] (\bruch{5}{6})^{n} [/mm]
- G = { [mm] (w_{1},..., w_{k-1}, w_{k}, w_{k+1},...,w_{n}) \in [/mm] Ω | [mm] (w_{1},...,w_{n}) \not= [/mm] 3 [mm] \vee (w_{1},...,w_{n}) \not= [/mm] 4 } P(G) = ?
- H = { [mm] (w_{1},..., w_{k-1}, w_{k}, w_{k+1},...,w_{n}) \in [/mm] Ω | höchstens ein [mm] w_{i}, [/mm] i=1,...,n ist < 3 } P(H)= ?
Wie ich diese durch [mm] A_{k} [/mm] ausdrücken soll, steh ich im mom auch auf dem Schlauch.
Danke schon mal für die Hilfe,
lg eldorado
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Sa 24.04.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie für alle n [mm]\in \IN[/mm] einen geeigneten
> Wahrscheinlichkeitsraum ( Ω, [mm]\mathcal{A},[/mm] P) zur
> Beschreibung des Zufallsexperiments "n maliges Werfen eines
> unverfälschten Würfels". Beschreiben sie die folgenden
> Ereignisse Mengentheoretisch (als Teilmengen in Ω ) und
> berechnen sie deren Wahrscheinlichkeiten:
>
> - [mm]A_{k}[/mm] "der k-te Wurf ergibt 3" (1 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n)
> - [mm]B_{k}[/mm] "der k-te Wurf ergibt die erste 3" (1 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm]
> n)
> - [mm]C_{k}[/mm] "der k-te und der (k+1)-te Wurf ergeben die ersten
> beiden 3er" (1 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n)
> - D "es wird genau eine 3 geworfen"
> - E "es wird min. eine 3 geworfen"
> - F "es wird keine 3 geworfen"
> - G "es wird keine 3 geworfen oder es wird keine 4
> geworfen"
> - H "höchstens ein Wurf ergibt eine Zahl kleiner als 3"
>
> Welche der Ereignisse [mm]B_{k}, C_{k},[/mm] D, E, F, G, H lassen
> sich mit Hilfe mengentheoretischer Operationen durch die
> [mm]A_{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ausdrücken, gegebenenfalls: wie?
> Hallo
> ich denke zum größten Teil hab ichs, hoff das stimmt so,
> aber wär nett wenn jemand mal drüberschauen könnte und
> bei den Lücken helfen könnte.
>
> Ω = { [mm](w_{1},...,w_{n}) \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{1;2;3;4;5;6} ^{n} }
> [mm]\mathcal{A}[/mm] = [mm]\mathcal{P}[/mm] (Ω)
> P = [mm]\bruch{1}{6^{n}}[/mm] (Gleichverteilung)
>
> - [mm]A_{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm](w_{1},..., w_{k-1}, w_{k}, w_{k+1},...,w_{n}) \in[/mm]
> Ω | [mm]w_{k}=3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} (was ist mit den Fällen k=1, k=n ?)
> [mm]P(A_{k})= \bruch{1}{6}[/mm]
Das sieht gut aus. Von der Wahrscheinlichkeit her macht es keinen Unterschied, ob man im n-ten Wurf oder im ersten Wurf eine drei würfelt.
> - [mm]B_{k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm](w_{1},..., w_{k-1}, w_{k}, w_{k+1},...,w_{n}) \in[/mm]
> Ω | [mm](w_{1},..., w_{k-1}) \not=[/mm] 3, [mm]w_{k}=3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]P(B_{k})= (\bruch{5}{6})^{k-1}[/mm]
> * [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
Auch okay
> - [mm]C_{k}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm](w_{1},..., w_{k-1}, w_{k}, w_{k+1},...,w_{n}) \in[/mm]
> Ω | [mm](w_{1},..., w_{k-1}) \not=[/mm] 3, [mm](w_{k}, w_{k+1})=3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> [mm]P(C_{k})= (\bruch{5}{6})^{k-1}[/mm] * [mm](\bruch{1}{6})^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Auch das ist korrekt.
> - D = { [mm](w_{1},..., w_{k-1}, w_{k}, w_{k+1},...,w_{n}) \in[/mm]
> Ω | genau ein [mm]w_{i},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
i=1,...,n ist 3 } P(D)=
> [mm](\bruch{5}{6})^{n-1}[/mm] * [mm]\bruch{1}{6}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
*n
Auch korrekt.
> - E = { [mm](w_{1},..., w_{k-1}, w_{k}, w_{k+1},...,w_{n}) \in[/mm]
> Ω | min. ein [mm]w_{i}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
, i=1,...,n ist 3 } P(E)=
> [mm]1-(\bruch{5}{6})^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> - F = { [mm](w_{1},..., w_{k-1}, w_{k}, w_{k+1},...,w_{n}) \in[/mm]
> Ω | [mm](w_{1},...,w_{n}) \not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
3} P(F)= [mm](\bruch{5}{6})^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Auch das stimmt
> - G = { [mm](w_{1},..., w_{k-1}, w_{k}, w_{k+1},...,w_{n}) \in[/mm]
> Ω | [mm](w_{1},...,w_{n}) \not=[/mm] 3 [mm]\vee (w_{1},...,w_{n}) \not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> 4 } P(G) = ?
Die Wahrscheinlichkeit für "keine3" hast du ja schon ermittelt. Und damit dann auch die W.keit für "keine4". Wie verknüpft man nun das Oder?
> - H = { [mm](w_{1},..., w_{k-1}, w_{k}, w_{k+1},...,w_{n}) \in[/mm]
> Ω | höchstens ein [mm]w_{i},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
i=1,...,n ist < 3 } P(H)= ?
Beim einmaligen Wurf hast du ja die Wahrscheinlichkeit p=\bruch{2}{6}=\bruch{1}{3}, dass du eine Zahl kleiner als 3 bekommst (1,2).
Ausserdem:
"höchstens ein Wurf ergibt eine Zahl kleiner als 3"
="genau eine Zahl ist kleiner als drei"+"keine Zahl ist kleiner als drei"
>
> Wie ich diese durch [mm]A_{k}[/mm] ausdrücken soll, steh ich im mom
> auch auf dem Schlauch.
Ich leider dabei auch. Daher lasse ich die Frage auf teilweise beantwortet.
>
> Danke schon mal für die Hilfe,
> lg eldorado
Marius
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> Die Wahrscheinlichkeit für "keine3" hast du ja schon
> ermittelt. Und damit dann auch die W.keit für "keine4".
> Wie verknüpft man nun das Oder?
durch addition der wahrscheinlichkeiten minus die wahrscheinlichkeit für die schnittmenge oder?
P(G)= [mm] (\bruch{5}{6})^{n} [/mm] + [mm] (\bruch{5}{6})^{n} [/mm] - [mm] (\bruch{4}{6})^{n}
[/mm]
>
> Beim einmaligen Wurf hast du ja die Wahrscheinlichkeit
> [mm] p=\bruch{2}{6}=\bruch{1}{3}, [/mm] dass du eine Zahl kleiner als
> 3 bekommst (1,2).
> Ausserdem:
> "höchstens ein Wurf ergibt eine Zahl kleiner als 3"
> ="genau eine Zahl ist kleiner als drei"+"keine Zahl ist
> kleiner als drei"
wäre das dann so?:
P(H)= [mm] (\bruch{1}{6})^{n} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{6})^{n} [/mm] - [mm] (\bruch{2}{6})^{n} [/mm] + [mm] (\bruch{4}{6})^{n}
[/mm]
vielen dank :)
lg eldorado
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Mo 26.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Sa 24.04.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Wie ich diese durch [mm]A_{k}[/mm] ausdrücken soll, steh ich im mom
> auch auf dem Schlauch.
>
Hier ein Beispiel dafuer, in welche Richtung du denken musst:
[mm] $B_k=\overline{A}_1\cap\cdots\cap \overline{A}_{k-1}\cap A_k$.
[/mm]
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Sa 24.04.2010 | | Autor: | eldorado |
achso ok, danke =)
seh ich das richtig, dass also alle Mengen bis auf G und H durch die [mm] A_{k} [/mm] darstellbar sind?
vielen dank,
lg eldorado
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Hallo,
> achso ok, danke =)
> seh ich das richtig, dass also alle Mengen bis auf G und H
> durch die [mm]A_{k}[/mm] darstellbar sind?
Ja, das siehst du richtig.
Da die [mm] A_{k} [/mm] nur Ereignisse mit Dreien kennen, in G und H aber auch Vieren oder Zahlen kleiner als 3 eine Rolle spielen, sind diese nicht mit [mm] A_{k} [/mm] darstellbar.
Grüße,
Stefan
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