Würfelproblem 3 < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Mi 19.12.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim dreimaligen Wufr mit einem fairen Würfel genau eine 6 und genau eine 2 zu würfeln. |
So, nochmal eine ähnliche Aufgabe:
$ [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{1,2,3,4,5,6\}^3 [/mm] = [mm] \{(\omega_1, \omega_2, \omega_3) | \omega_1, \omega_2, \omega_3 \in \{1,2,3,4,5,6\}\} [/mm] $
Hier hab ich nun leider das Problem mit der Definition des Ereignisses:
Ereignis $d = [mm] \{(i,j,6);(i,6,j);(6,i,j);(i,j,2);(i,2,J);(2,i,j) | 1< i,j \leq 5 \} [/mm] $
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Hallo,
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim dreimaligen Wufr
> mit einem fairen Würfel genau eine 6 und genau eine 2 zu
> würfeln.
>
> So, nochmal eine ähnliche Aufgabe:
>
> [mm]\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}^3 = \{(\omega_1, \omega_2, \omega_3) | \omega_1, \omega_2, \omega_3 \in \{1,2,3,4,5,6\}\}[/mm]
>
> Hier hab ich nun leider das Problem mit der Definition des
> Ereignisses:
>
> Ereignis [mm]d = \{(i,j,6);(i,6,j);(6,i,j);(i,j,2);(i,2,J);(2,i,j) | 1< i,j \leq 5 \}[/mm]
das stimmt so nicht. Irgendwie musst du die beiden Fälle trennen, entweder durch zwei weitere Variable, oder durch zweimalige Definition der Definitionsmenge von (i,j). Vom Abzählen her ist es aber prinzipiell wieder richtig.
Desweiteren ist es üblich, Ereignisse genauso wie Mengen mit Großbuchstaben zu bezeichnen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Mi 19.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$ D_6 = \{(i,j,6);(i,6,j);(6,i,j) | 1< i,j \leq 5 \} $
$D_2 = (i,j,2);(i,2,J);(2,i,j) | i,j \in \{1,3,4,5,6\} \} $
$P(D_6) = \frac56\frac56\frac16 + \frac56\frac16\frac56 +\frac16\frac56\frac56 =\frac{25}{72}$
$P(D_2) = \frac56\frac56\frac16 + \frac56\frac16\frac56 +\frac16\frac56\frac56 = \frac{25}{72}$
Jetzt sollte die Definition des Ereignisses stimmen. Wie sieht's nun mit den beiden Rechnungen aus? Wie führe ich die zwei Teil-Wahrscheinlichkeiten nun zusammen?
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Hallo,
du hast die Sache nicht besser gemacht: für den Fall 'genau eine 2' muss die Menge, aus der i und j kommen, [mm] \{1;3;4;5;6\} [/mm] sein, da kommst du nicht drum herum. Ansonsten gilt wie immer für disjunkte Ereignisse A und B:
[mm]P(A\cup{B})=P(A)+P(B)[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mi 19.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$ D_6 = \{(i,j,6);(i,6,j);(6,i,j) | 1< i,j \leq 5 \} $
$D_2 = (i,j,2);(i,2,J);(2,i,j) | i,j \in \{1,3,4,5,6\} \} $
$P(D_6) = \frac56\frac56\frac16 + \frac56\frac16\frac56 +\frac16\frac56\frac56 =\frac{25}{72}$
$P(D_2) = \frac56\frac56\frac16 + \frac56\frac16\frac56 +\frac16\frac56\frac56 = \frac{25}{72}$
Jetzt sollte die Definition des Ereignisses stimmen. Wie sieht's nun mit den beiden Rechnungen aus? Wie führe ich die zwei Teil-Wahrscheinlichkeiten nun zusammen?
Zitat: "Ansonsten gilt wie immer für disjunkte Ereignisse A und B: $ P(A\cup{B})=P(A)+P(B) $
Dumme Frage, aber: In wie fern hilft mir diese Formel hier? Edit: Jetzt hab ich's ich muss die Teilergebnisse einfach addieren.
Ich komm dann auf $\frac{25}{36}$. stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:55 Mi 19.12.2012 | | Autor: | luis52 |
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> Ich komm dann auf [mm]\frac{25}{36}[/mm]. stimmt das?
>
Moin, leider nicht. Die Wsk ist 24/216.
vg luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mi 19.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hm, ich hab grad gesehen, dass es hier auch Lösungen gibt. Laut meiner Lösung ist es 1/9. Dann würd wohl auch deine Lösung nicht stimmen...
$ D_6 = \{(i,j,6);(i,6,j);(6,i,j) | 1< i,j \leq 5 \} $
$D_2 = (i,j,2);(i,2,J);(2,i,j) | i,j \in \{1,3,4,5,6\} \} $
Ich denke mal die Ereignis-Definition passen so.
$P(D_6) = \frac56\frac56\frac16 + \frac56\frac16\frac56 +\frac16\frac56\frac56 =\frac{25}{72}$
Auch denke ich, dass diese Teil-Wahrscheinlichkeit passen sollte.
$P(D_2) = \frac56\frac56\frac16 + \frac56\frac16\frac56 +\frac16\frac56\frac56 = \frac{25}{72}$
Also kann doch nur hier der Fehler liegen, oder?
Mit dieser Berechnung will ich ja rausbekommen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ich bei drei würfen genau eine 2 bekomme. In der ersten Teil-WSK. suche ich ja nach genau einer 6; hier nun nach genau einer 2. Ob nun 2 oder 6 ist ja eigentlich egal, oder? " und 6 sind doch beide gleichwahrscheinlich, oder?
Wenn nun Teil-WSK. D_2 passt, dann muss ich ja die beiden Teil-WSK. nur noch addieren, die zwei WSK. sind ja disjunkt, wodurch ich die WSK einfach addieren darf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Mi 19.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Hm, ich hab grad gesehen, dass es hier auch Lösungen gibt.
> Laut meiner Lösung ist es 1/9. Dann würd wohl auch deine
> Lösung nicht stimmen...
Steht da auch, wie man zu der Loesung kommt? Ich kann meine Loesung naemlich begruenden: Wenn genau eine 2 und genau eine 6 erscheinen soll, dann kann dies auf eine der folgenden Weisen geschehen: [mm] $(2,6,\ast)$, $(2,\ast,6)$,$(\ast,2,6)$, $(6,2,\ast)$, $(6,\ast,2)$,$(\ast,6,2)$. [/mm] Fuer [mm] $\ast$ [/mm] kann einer der Zahlen $1,3,4,5$ stehen. Insgesamt [mm] $6\times4$ [/mm] Moeglichkeiten.
Uebrigens: $24/216=1/9$! 
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:25 Do 20.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
kürzen sollte man können: 24/216=?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Mi 19.12.2012 | | Autor: | abakus |
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim dreimaligen Wufr
> mit einem fairen Würfel genau eine 6 und genau eine 2 zu
> würfeln.
Hallo
dieses Ereignis besteht aus:
"6-2-(eine andere Zahl)" und den möglichen Vertauschungen dieser Reihenfolge.
Die Wahrscheinlichkeit von "6-2-(eine andere Zahl)"
beträgt (1/6)*(1/6)*(4/6)=4/216=1/54.
Da es dafür 6 mögliche Reihenfolgen gibt, ist dein Ergebnis
6/54=1/9.
Gruß Abakus
>
> So, nochmal eine ähnliche Aufgabe:
>
> [mm]\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}^3 = \{(\omega_1, \omega_2, \omega_3) | \omega_1, \omega_2, \omega_3 \in \{1,2,3,4,5,6\}\}[/mm]
>
> Hier hab ich nun leider das Problem mit der Definition des
> Ereignisses:
>
> Ereignis [mm]d = \{(i,j,6);(i,6,j);(6,i,j);(i,j,2);(i,2,J);(2,i,j) | 1< i,j \leq 5 \}[/mm]
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Hallo bandchef,
wenn man die drei Würfe voneinander unterscheidet, darf und muss einer davon eine 6 lieferen: 3 Möglichkeiten.
Von den beiden übrigen darf und muss einer eine 2 liefern: 2 Möglichkeiten.
Der letzte verbleibende Wurf (welcher das dann auch sein mag), darf weder eine 2 noch eine 6 liefern, also nur 1,3,4,5: 4 Möglichkeiten.
Es gibt also 3*2*4=24 günstige Möglichkeiten von 6*6*6=216 denkbaren.
Also beträgt die Wahrscheinlichkeit [mm] p=\bruch{3*2*4}{6*6*6}=\bruch{4!}{6^3}=\bruch{24}{216}=\bruch{1}{9}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mi 19.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Danke für eure ganzen Möglichkeiten! Wenn ich eure Erläuterungen dazu lese, dann erscheint es mir schon auch logisch; selber draufgekommen wäre aber nie drin...
Wo ist nun bei meiner der Fehler?
$ D_6 = \{(i,j,6);(i,6,j);(6,i,j) | 1< i,j \leq 5 \} $
$D_2 = (i,j,2);(i,2,J);(2,i,j) | i,j \in \{1,3,4,5,6\} \} $
Ich denke mal die Ereignis-Definition passen so.
$P(D_6) = \frac56\frac56\frac16 + \frac56\frac16\frac56 +\frac16\frac56\frac56 =\frac{25}{72}$
Auch denke ich, dass diese Teil-Wahrscheinlichkeit passen sollte.
$P(D_2) = \frac56\frac56\frac16 + \frac56\frac16\frac56 +\frac16\frac56\frac56 = \frac{25}{72}$
Also kann doch nur hier der Fehler liegen, oder?
Mit dieser Berechnung will ich ja rausbekommen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ich bei drei würfen genau eine 2 bekomme. In der ersten Teil-WSK. suche ich ja nach genau einer 6; hier nun nach genau einer 2. Ob nun 2 oder 6 ist ja eigentlich egal, oder? " und 6 sind doch beide gleichwahrscheinlich, oder?
Wenn nun Teil-WSK. D_2 passt, dann muss ich ja die beiden Teil-WSK. nur noch addieren, die zwei WSK. sind ja disjunkt, wodurch ich die WSK einfach addieren darf.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mi 19.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Wenn nun Teil-WSK. [mm]D_2[/mm] passt, dann muss ich ja die beiden
> Teil-WSK. nur noch addieren, die zwei WSK. sind ja
> disjunkt, wodurch ich die WSK einfach addieren darf.
>
>
Du meinst, dass [mm] $D_2$ [/mm] und [mm] $D_6$ [/mm] disjunkt sind? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] $(1,2,6)\in D_2\cap D_6$!
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mi 19.12.2012 | | Autor: | bandchef |
Was sagst du hierzu:
[mm] $D=\{(6,2,i);(2,i,6);(i,2,6);(i,6,2);(2,6,i);(6,i,2)|i \in \{1,3,4,5\}\}
[/mm]
[mm] $P(D)=\frac16\frac16\frac46 \cdot \frac16\frac16\frac46 \cdot \frac16\frac16\frac46 \cdot \frac16\frac16\frac46 \cdot \frac16\frac16\frac46 \cdot \frac16\frac16\frac46 [/mm] = [mm] \frac19$
[/mm]
Cool, oder? 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Mi 19.12.2012 | | Autor: | luis52 |
> Was sagst du hierzu:
>
> [mm]$D=\{(6,2,i);(2,i,6);(i,2,6);(i,6,2);(2,6,i);(6,i,2)|i \in \{1,3,4,5\}\}[/mm]
>
> [mm]P(D)=\frac16\frac16\frac46 \cdot \frac16\frac16\frac46 \cdot \frac16\frac16\frac46 \cdot \frac16\frac16\frac46 \cdot \frac16\frac16\frac46 \cdot \frac16\frac16\frac46 = \frac19[/mm]
>
> Cool, oder?
Unbedingt! ![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]")
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:37 Do 20.12.2012 | | Autor: | reverend |
Boah, ey.
> Was sagst du hierzu:
>
> [mm]$D=\{(6,2,i);(2,i,6);(i,2,6);(i,6,2);(2,6,i);(6,i,2)|i \in \{1,3,4,5\}\}[/mm]
>
> [mm]P(D)=\frac16\frac16\frac46 \cdot \frac16\frac16\frac46 \cdot \frac16\frac16\frac46 \cdot \frac16\frac16\frac46 \cdot \frac16\frac16\frac46 \cdot \frac16\frac16\frac46 = \frac19[/mm]
>
> Cool, oder?
Supercool. ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Das ist ja sowas wie "richtig rechnen".
Wow, bro.
rev
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