Würfelecke bestimmen (2D) < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Mi 17.07.2013 | | Autor: | ichbinzz |
| Aufgabe | | Ermittle aus drei gegebenen zweidimensionalen Punkten A,B,C der Oberseite eines Würfels den letzten zugehörigen Punkt. Dabei handelt es sich um den hinteren Punkt D. A,B,C und D schließen ein Viereck ein. Alle Punkte befinden sich in einer Ebene. Folgende Werte sind gegeben: A(319|237), B(436|298), C(540|251). |
Liebes Forum,
der Hintergrund dieser Aufgabe ist, auf einem Foto eines Würfels, die obere hintere Ecke zu finden (in dem Bild-Anhang gezeigt).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mein erster Ansatz ist, die Diagonale f aufgrund der Diagonalen e*sin(alpha) zu berechnen (alpha ^= Winkel zwischen BA und BC). Warum? Wenn der Winkel = 90° ist, müssten e=f sein, da man dann direkt von oben schauen würde. Ist der Winkel jedoch so stumpf, dass alpha=180° ist, ist die obere Seite gar nicht zu sehen und folglich ist =0 Daher habe ich folgende Formel aufgestellt: f = e*sin(alpha).
alpha = cos( (BA*BC)/|BA|*|BC| ) = 2.2365...
e = |AC| = 221,44...
f = sin(alpha)*e = 174.15...
Nun muss noch der Mittelpunkt M auf der Strecke e berechnet werden:
M = 0A + e/2 = (429,5|244)
Jetzt hab ich die Gerade g gebildet, die durch B und M geht:
g: x=B+r*BM
Für welches r ist der Betrag von g = f?
|B+r*BM| = f => r=12,79
Gesuchten Punkt D berechnen:
D = (g mit r=12,79) = (352 | -392,66...)
Das ist leider FALSCH.
Andere Variante: Ich habe einen Richtungsvektor ab B gesucht, wessen Betrag = f (174.15...) entspricht:
Vektor v = (a|b)
|v| = f
sqrt( [mm] a^2+b^2 [/mm] ) = f bzw. [mm] a^2+b^2 [/mm] = [mm] f^2
[/mm]
a und b müssen im selben Verhältnis wie die Koordinaten des Richtungsvektors BM stehen. Nun wird a nach b umgestellt:
a/b=-6,5/-54 => a = (6,5/54)*b
Nun wird der Betrag von v gleich der Länge f gesetzt:
( (6,5/54)*b [mm] )^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] f^2 [/mm] => b = 172,9...
Nur noch a berechnen:
a = (6,5/54)*b = 20.8...
Nun wird 0B - v gerechnet und dort kommt D(415,2|125,1) raus. Und leider nochmal FALSCH.
Bitte sagt mir, ob mein Ansatz falsch ist oder meine Berechnungen i-wo nicht hinhauen. Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen. Bei Rückfragen melde ich mich gerne noch einmal.
Liebe Grüße,
ichbinzz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Mi 17.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
warum so kompliziert ?
Für den Mittelpunkt gilt doch [mm] $m=\bruch{a+c}{2} [/mm] $ und [mm] $m=\bruch{b+d}{2} [/mm] $. Setze das gleich und löse nach d auf.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Mi 17.07.2013 | | Autor: | ichbinzz |
Da die Diagonale e sowie so bestimmt werden muss, finde ich M = 0A + e/2 auch nicht aufwendig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Mi 17.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
e muss nicht unbedingt bestimmt werden.
Dein Vorgehen enthält einen grundsätzlichen Fehler.
Es ist nämlich prinzipiell nicht möglich, allein aus e und [mm] \alpha [/mm] die Diagonale f zu bestimmen. Folgende Skizze mag das verdeutlichen :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Sax.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mi 17.07.2013 | | Autor: | ichbinzz |
Ist es also nicht möglich den Punkt D aus den gegebenen Größen zu ermitteln? In deiner Skizze sieht man ja, dass der Winkel zu keiner eindeutigen Lösung führt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Mi 17.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
ich habe dir doch schon gesagt, wie du [mm] \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB} [/mm] herleiten kannst.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Mi 17.07.2013 | | Autor: | ichbinzz |
Das klappt leider nicht. In dem Foto sieht man, dass AB und DC bzw. AD und BC nicht parallel sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Mi 17.07.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Das wird in einer perspektivischen Darstellung wie z.B. einem Foto auch nie der Fall sein, wenn man hier nur die Darstellung heranzieht.
Dass die genannten Geraden jeweils parallel zu einander sind, ergibt sich schon aus der Definiton eines Würfels.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 Mi 17.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
dann kann D (fast) überall sein.
Gruß Sax.
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Hallo,
ich glaube, da wurde bisher von allen Beteiligten ein wesentlicher Punkt übersehen. Das ganze ist ein Foto und damit eine perspektivische Sicht auf eine Seitenfläche eines Würfels.
Das würde noch einigermaßen machbar sein, wenn der Betrachter genau in die Richtung der Strecke [mm] \overline{BD} [/mm] schauen würde. Das ist hier jedoch nicht der Fall.
Mit den gegebenen Angaben müsste das Problem in meinen Augen lösbar sein, denn es kann keine weitere Position für einen Betrachter geben, so dass er die Oberseite des Würfels kongruent zur jetzigen Darstellung sieht.
Aber das wird etwas größeres. Man müsste über die Winkel im Dreieck ABC irgendwie die beiden Winkel bestimmen, welche die Betrachtungsrichtung festlegen. Damit könnte man für die beiden Kantenrichtungen der Oberseite irgendwie Fluchtpunkte berechnen und damit letztendlich die Koordinaten von D. Ich würde mir das gut überlegen, ob der Aufwand für dich lohnt.
Falls ja, dann plane Tage bis Wochen ein, bis wir das hier aufgedröselt haben (es sei denn, es findet sich jemand der mehrere Stunden am Stück Zeit hat).
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Do 18.07.2013 | | Autor: | ichbinzz |
Aktueller Ansatz:
Richtungsvektor BM berechnen, welcher in die Richtung von D zeigt. (M=0A+AC/2)
Betrag bilden und den Einheitsvektor n berechnen.
n*(Länge der Diagonalen f) + 0B ==> D
Ein simpler Ansatz, der vlt funktionieren könnte. Bekannt ist, dass bei
alpha=90° e=f gilt und bei alpha=180° ist e=0
Nun könnte man eine Funktion annähern, welche im Interval 90 <= x <= 180 einen gültigen Faktor für die folgende Berechnung zurückgibt:
e * Faktor = f
Erste Versuche haben gezeigt, dass
f(x)=-(alpha/90)+2 linear und [mm] f(x)=(alpha/90-2)^2 [/mm] quadratisch
diese Funktion nicht darstellt.
Gibt es eine Möglichkeit, diese Funktion systematisch anzunähern? Wie gesagt, der Richtungsvektor n zeigt in die richtige Richtung, nur der Betrag stimmt noch nicht (Beispiel im Anhang).
Gute Nacht,
ichbinzz
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:54 Do 18.07.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
man müsste wohl wissen, wie sich aus der Tatsache, dass AB und BC im realen 3D-Objekt gleich lang sind, die Lage der Horizontlinie h berechnen lässt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß Sax.
Dateianhänge:
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Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Do 18.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du wirklich nur die 3 in einer Ebene liegenden Punkte hast kann man- ohne weitere Information sicher den vierten punkt nicht rauskriegen! denn jedes beliebige ebene viereck kann das perspektive Bild einers Quadrates sein der gesuchte punkt kann irgendwo liegen.
weiss man noch irgendetwas über die anderen Würfelkanten? Wenn es ein bild einfach eines Quadrates wäre kann man auf jeden Fall den letzten Punkt nicht finden.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Do 18.07.2013 | | Autor: | ichbinzz |
Höchstens der vierte Punkt unten wäre gegeben. Ich hoffe der kann noch helfen.
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Das sieht nach dem Themengebiet Projektivität/Homograhpie aus: http://en.wikipedia.org/wiki/Homography
Hat sich damit schon mal jmd auseinandergesetzt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 23.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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