Würfelaufgabe/diskreter Raum < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] k \in \{2,3\} [/mm]
1) Geben Sie einen diskreten W-Raum [mm] (\Omega_k,\mathcal{P}(\Omega_k),P_k) [/mm], der den k-fachen Wurf mit einem fairen Würfel modelliert.
2) Ist es wahrscheinlicher, in zwei Würfen mindestens eine durch 2 teilbare Zahl zu würfeln als in drei Würfen mindestens eine durch 3 teilbare Augenzahl ?
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Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ist mein Ansatz richtig:
Zu 1)
k=2, dann ist [mm] \Omega=\IN_6 x \IN_6=\{(i,j) | i,j \in \IN_6 \} [/mm] eine abzählbare Menge und die Anzahl der Elemente ist 36.
(Oder ist (1,4) das Gleiche wie (4,1) ?)
k=3 ergibt dann 6x6x6=216 Elemente.
P ist das W-Maß. P ist größer 0, [mm] P(\Omega)=1 [/mm].
Die sigma-Additivität ist gegeben, wenn (4,1) ungleich (1,4) ist - stimmt das ?
Zu 2)
Die Anzahl der geraden Augenzahlen bei 2 Würfen ist 18, damit ist die Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{18}{36} = \bruch{1}{2} [/mm].
Die Anzahl der durch 3 teilbaren Augenzahlen bei 3 Würfen ist 72, damit ist die Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{72}{216} = \bruch{1}{3} [/mm].
Stimmt das ?
Danke, Susanne.
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Hallo,
Ich hab bisher noch kein Stochastik als Vorlesung gehört, daher kann ich dir nur die 2) beantworten:
> 2) Ist es wahrscheinlicher, in zwei Würfen mindestens
> eine durch 2 teilbare Zahl zu würfeln als in drei Würfen
> mindestens eine durch 3 teilbare Augenzahl ?
> Zu 2)
> Die Anzahl der geraden Augenzahlen bei 2 Würfen ist 18,
> damit ist die Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{18}{36} = \bruch{1}{2} [/mm].
>
> Die Anzahl der durch 3 teilbaren Augenzahlen bei 3 Würfen
> ist 72, damit ist die Wahrscheinlichkeit [mm]\bruch{72}{216} = \bruch{1}{3} [/mm].
So wie ich es verstehe, kommt es hierbei nicht auf die Summe der Augenzahlen der Würfel an, das hast du glaub ich gemacht.
Man geht hier schlecht über das Gegenereignis: Die Wahrscheinlichkeit in einem Wurf eine Augenzahl zu zu würfeln, die nicht 2 teilbar ist, ist [mm] \bruch{3}{6} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Also ist die Wahrscheinlichkeit in 2 Würfen keine durch 2 teilbare Zahl zu würfeln: [mm] \bruch{3}{6} [/mm] * [mm] \bruch{3}{6} [/mm] = [mm] \bruch{9}{36}. [/mm] Also ist die Wahrscheinlichkeit mindestens eine durch 2 teilbare Zahl zu würfeln: 1- [mm] \bruch{9}{36} [/mm] = [mm] \bruch{27}{36}= \bruch{3}{4}.
[/mm]
Analog sollte das dann für die durch 3 teilbaren Zahlen gehen: ( [mm] \bruch{4}{6}) [/mm] ^{3}= [mm] \bruch{8}{27}.
[/mm]
Also ist die Wahrscheinlichkeit in 3 Würfen mindestens eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln: 1- [mm] \bruch{8}{27} =\bruch{19}{27}.
[/mm]
Also ist es offensichtlich wahrscheinlicher in 2 Würfen mindestens eine durch 2 teilbare Zahlzu würfeln als in 3 Würfen eine durch 3 teilbare.
Viele Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:12 Do 24.09.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo ms2008de,
vielen Dank für deine Hilfe !
> So wie ich es verstehe, kommt es hierbei nicht auf die
> Summe der Augenzahlen der Würfel an, das hast du glaub ich
> gemacht.
> Man geht hier schlecht über das Gegenereignis: Die
> Wahrscheinlichkeit in einem Wurf eine Augenzahl zu zu
> würfeln, die nicht 2 teilbar ist, ist [mm]\bruch{3}{6}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}.[/mm] Also ist die Wahrscheinlichkeit in 2 Würfen
> keine durch 2 teilbare Zahl zu würfeln: [mm]\bruch{3}{6}[/mm] *
> [mm]\bruch{3}{6}[/mm] = [mm]\bruch{9}{36}.[/mm] Also ist die
> Wahrscheinlichkeit mindestens eine durch 2 teilbare Zahl zu
> würfeln: 1- [mm]\bruch{9}{36}[/mm] = [mm]\bruch{27}{36}= \bruch{3}{4}.[/mm]
>
> Analog sollte das dann für die durch 3 teilbaren Zahlen
> gehen: ( [mm]\bruch{4}{6})[/mm] ^{3}= [mm]\bruch{8}{27}.[/mm]
> Also ist die Wahrscheinlichkeit in 3 Würfen mindestens
> eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln: 1- [mm]\bruch{8}{27} =\bruch{19}{27}.[/mm]
>
> Also ist es offensichtlich wahrscheinlicher in 2 Würfen
> mindestens eine durch 2 teilbare Zahlzu würfeln als in 3
> Würfen eine durch 3 teilbare.
>
Ja, du hast recht, ich habe aus allen 6x6 Kombinationen die geraden Augenzahlen ausgewählt und das war eigentlich nicht gefragt - danke !
Ich kann nachvollziehen, dass deine Lösung richtig ist.
Aber grundsätzlich habe ich noch ein Verständnisproblem:
Es ist doch die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln für eine gerade Zahl gleich gross wie für eine ungerade Zahl.
Geht man bei solchen Ereignissen immer über das Gegenereignis, weil wenn im 1.Wurf bereits GERADE gewürfelt wurde, dann ist der 2.Wurf egal, und wenn nicht, dann hat man im 2.Versuch wieder eine 50 % Chance ?
Danke, Susanne.
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Hallo,
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> > So wie ich es verstehe, kommt es hierbei nicht auf die
> > Summe der Augenzahlen der Würfel an, das hast du glaub ich
> > gemacht.
> > Man geht hier schlecht über das Gegenereignis: Die
> > Wahrscheinlichkeit in einem Wurf eine Augenzahl zu zu
> > würfeln, die nicht 2 teilbar ist, ist [mm]\bruch{3}{6}[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{2}.[/mm] Also ist die Wahrscheinlichkeit in 2 Würfen
> > keine durch 2 teilbare Zahl zu würfeln: [mm]\bruch{3}{6}[/mm] *
> > [mm]\bruch{3}{6}[/mm] = [mm]\bruch{9}{36}.[/mm] Also ist die
> > Wahrscheinlichkeit mindestens eine durch 2 teilbare Zahl zu
> > würfeln: 1- [mm]\bruch{9}{36}[/mm] = [mm]\bruch{27}{36}= \bruch{3}{4}.[/mm]
>
> >
> > Analog sollte das dann für die durch 3 teilbaren Zahlen
> > gehen: ( [mm]\bruch{4}{6})[/mm] ^{3}= [mm]\bruch{8}{27}.[/mm]
> > Also ist die Wahrscheinlichkeit in 3 Würfen mindestens
> > eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln: 1- [mm]\bruch{8}{27} =\bruch{19}{27}.[/mm]
>
> >
> > Also ist es offensichtlich wahrscheinlicher in 2 Würfen
> > mindestens eine durch 2 teilbare Zahlzu würfeln als in 3
> > Würfen eine durch 3 teilbare.
> >
> Ja, du hast recht, ich habe aus allen 6x6 Kombinationen die
> geraden Augenzahlen ausgewählt und das war eigentlich
> nicht gefragt - danke !
>
> Ich kann nachvollziehen, dass deine Lösung richtig ist.
>
> Aber grundsätzlich habe ich noch ein Verständnisproblem:
> Es ist doch die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln für eine
> gerade Zahl gleich gross wie für eine ungerade Zahl.
> Geht man bei solchen Ereignissen immer über das
> Gegenereignis, weil wenn im 1.Wurf bereits GERADE
> gewürfelt wurde, dann ist der 2.Wurf egal, und wenn nicht,
> dann hat man im 2.Versuch wieder eine 50 % Chance ?
Man geht deshalb über das Gegenereignis weil ja danach gefragt ist, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, mindestens einmal 2, 4 oder 6 zu würfeln bzw. 3 oder 6 zu würfeln, da gehts dann bei mehreren Würfen immer leichter über das Gegenereignis, dass die Zahl kein Mal gewürfelt wird.
Aber man könnte es natürlich auch so machen, wie du eben geschrieben hast.
In der Schule wird zum Beispiel ganz gerne die Aufgabe gestellt, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei 6-maligem Würfeln mit einem Würfeln mindestens einmal eine 6 zu würfeln. Schüler lassen sich dann ganz gerne davon blenden, dass der Erwartungswert für die Anzahl der Augenzahl 6 = 1 ist, und nehmen dass schonmal als Wahrscheinlichkeit.
Viele Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Do 24.09.2009 | | Autor: | SusanneK |
Vielen Dank für deine Hilfe !
(Ich habe aus Versehen die Eingangsfrage auf unbeantwortet gesetzt, weiss auch nicht, wie ich das ändern kann. Da aber die Frage noch nicht ganz beantwortet ist - der 1.Teil fehlt noch - ist es auch nicht so falsch)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 26.09.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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