Würfel im \IR^{3} < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Di 08.01.2008 | | Autor: | Jana85 |
Hallo liebe Leute,
ich komme bei einer Aufgabe in Algebra nicht weiter:
G Gruppe der räumlichen Drehungen, die einen regelmäßigen Würfel im [mm] \IR^{3} [/mm] festlassen.
Beweise:
a) G operiert treu auf der Menge der Raumdiagonalen
b) G ist isomorph zur symmetrischen Gruppe [mm] S_{4}
[/mm]
c) Bestimmen Sie die Fixgruppe einer Ecke des Würfels
Also G operiert ja genau dann treu auf der Menge, wenn [mm] \bigcap_{x \in M}G_{x} [/mm] = {id}
Wobei $ [mm] G_{x} [/mm] = [mm] \{\sigma \in G | \sigma.x = x\} [/mm] $ also die Fixgruppe zu x ist.
Angenommen der Schnitt ist nun nicht einelementig, also ex. noch ein a mit a.x=x für alle x [mm] \in [/mm] M:=Menge der Raumdiagonalen wobei a nicht die Identität ist. Das bedeutet ja nun nichts anderes, als dass alle Raumdiagonalen festgelassen werden und somit gar keine Drehung vollzogen wird, was bedeuten würden, dass a = id und somit Widerspruch. Also operiert G treu auf M.
Zu b) weiß ich leider gar keinen Ansatz. außer, dass eine Ecke für eine Drehung 4 Möglichkeiten besitzt zu einer anderen Ecke zu wechseln bzw. auf der selben zu bleiben und vllt. könnte ich mir somit die Anzahl 4! ausrechen, allerdings weiß ich nicht wie ich die Isomorphie beweisen kann...
Ich hätte da auch ncoh eine Frage, kann man eigentl. die einzelnen Elemente von G aufschreiben? Dass dies z.b. wie bei [mm] \IR^{2} [/mm] Matrizen sind, gibt es solche Drehmatrizen auch für den [mm] \IR^{3}?
[/mm]
Ehrlich gesagt, kann ich mir unter der Aufgabe das ganze nicht sehr bildlich vorstellen, sind die Raumdiagonalen im gesamten Raum gemeint oder nur die Diagonalen im Würfel?
Ich hoffe ihr könnt mir einen kleinen Anstoss geben, dass ich die Aufgabe noch hinbekomme...
LG
Jana
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Mi 09.01.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Jana!
> G Gruppe der räumlichen Drehungen, die einen regelmäßigen
> Würfel im [mm]\IR^{3}[/mm] festlassen.
>
> Beweise:
>
> a) G operiert treu auf der Menge der Raumdiagonalen
> b) G ist isomorph zur symmetrischen Gruppe [mm]S_{4}[/mm]
> c) Bestimmen Sie die Fixgruppe einer Ecke des Würfels
>
> Also G operiert ja genau dann treu auf der Menge, wenn
> [mm]\bigcap_{x \in M}G_{x}[/mm] = {id}
>
> Wobei [mm]G_{x} = \{\sigma \in G | \sigma.x = x\}[/mm] also die
> Fixgruppe zu x ist.
> Ich hätte da auch ncoh eine Frage, kann man eigentl. die
> einzelnen Elemente von G aufschreiben? Dass dies z.b. wie
> bei [mm]\IR^{2}[/mm] Matrizen sind, gibt es solche Drehmatrizen
> auch für den [mm]\IR^{3}?[/mm]
Ja, man könnte die Abb. auch als Matrizen hinschreiben, aber das würde ich nicht machen. Besser ist es, sie als Permutationen zu notieren. Du numerierst die Ecken durch. Wenn 1 eine Ecke ist und 12 eine Kante, dann kann 1 auf jede andere Ecke abgebildet werden (gibt 8 Möglichkeiten). 2 muß dann auf eine der 3 Ecken abgebildet werden, die mit dem Bild von 1 durch eine Würfelkante verbunden sind. Dabei liegt die Abbildung fest, es gibt 8*3 = 24 Möglichkeiten.
Du solltest das mit einer geeigneten Zeichnung hinkriegen.
Die räumliche Vorstellung der Abbildungen ist auch nicht so schwer. Es sind die Identität (1), die Drehungen um Raumdiagonalen (+4*2), die Drehungen um Flächenmitten (+3*3) und die Drehungen um Kantenmitten (+6*1), das gibt auch 24 Stück.
Die Gruppe ist also eine U-Gruppe der [mm] S_{8}, [/mm] wenn du den Drehungen geeignete Namen gibst, kannst du vielleicht soweit alles aufschreiben.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
|
