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| Aufgabe | Wie viele verschiedene "Wörter" der Länge 8 kann man aus den 26 Buchstaben unseres Alphabetes bilden, wenn
a) jeder Buchstabe beliebig oft vorkommen kann,
b) das Wort genau drei Vokale enthalten soll? |
Guten Abend liebe Mathefreunde, ich habe zur Abwechslung selbst mal wieder eine Frage ;)
Für meine Nachhilfeschülerin habe ich folgende Aufgabe rausgesucht, weil vor allem die b) interessant erschien, da man hier mehrere Abzählverfahren anwenden muss. Leider bin ich mit der Lösung nicht mehr einverstanden, denn je länger ich darüber nachdenke, desto weniger sehe ich sie ein.
Die a) ist "trivial" und mit [mm] $26^8$ [/mm] als Variation, weil mit Reihenfolge und Wiederholung abgefrühstückt. Jetzt zur b.
Der Lösungsansatz lautet:
$C(8,3)V(5,3)V(21,5)=28.588.707.000$
Soweit, sogut. Klar sind die Variationsterme. Da ich 3 Vokale wählen darf, es aber 5 gibt, Vokale aber auch mehrfach gleich auftreten dürfen, habe ich eben $5*5*5$ Möglichkeiten. Gleiche Argumentation für die übrigen 5 der 8 Plätze mit verbliebenen 26-5=21 Buchstaben führ zu $V(21,5).
Ich stimme aber mit der Kombination nicht überein! Kombination heißt ja wie beim Lotto, dass die Reihenfolge egal ist! Ich sage also, dass wie beim Lotto die Reihenfolge von aeo dasselbe ist wie oea usw. Das ist aber doch hier gerade nicht der Fall! Ich habe doch vielmehr eine Permutation, da ich eben JEDE Reihenfolge unterscheiden kann. Daher wäre meine Lösung statt $C(8,5)$ eher [mm] $P(8,5)=\bruch{8!}{3!}$, [/mm] also deutlich mehr Möglichkeiten.
Denke ich weiter darüber nach, muss man hier sogar noch feiner unterscheiden. Für den Fall, dass ich tatsächlich drei gleiche Vokale habe, stimmt es nicht mehr, denn aaa bleibt aaa egal in welcher Reihenfolge, hier kommt es nur auf die Position der Vokale und Buchstaben unter den 8 Plätzen an. Hier würde ich $C(8,3)$ gelten lassen. Danach wären da noch die Fälle mit a,e,e, also 2 gleiche Vokale, auch hier müsste ich ja bei der Permutation noch durch die gleichen Fälle teilen.
Man sieht, ich bin verwirrt und hätte gerne eine Bestätigung oder einfach mal eine gehörige Kopfwäsche, was ich hier für einen Unfug verzapfe ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:45 Do 23.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Adamantin,
> [mm]C(8,3)V(5,3)V(21,5)=28.588.707.000[/mm]
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> Soweit, sogut. Klar sind die Variationsterme. Da ich 3
> Vokale wählen darf, es aber 5 gibt, Vokale aber auch
> mehrfach gleich auftreten dürfen, habe ich eben $5*5*5$
> Möglichkeiten. Gleiche Argumentation für die übrigen 5
> der 8 Plätze mit verbliebenen 26-5=21 Buchstaben führ zu
> $V(21,5).
>
> Ich stimme aber mit der Kombination nicht überein!
> Kombination heißt ja wie beim Lotto, dass die Reihenfolge
> egal ist! Ich sage also, dass wie beim Lotto die
> Reihenfolge von aeo dasselbe ist wie oea usw. Das ist aber
> doch hier gerade nicht der Fall! Ich habe doch vielmehr
> eine Permutation, da ich eben JEDE Reihenfolge
> unterscheiden kann. Daher wäre meine Lösung statt [mm]C(8,5)[/mm]
> eher [mm]P(8,5)=\bruch{8!}{3!}[/mm], also deutlich mehr
> Möglichkeiten.
Die Philosophie ist folgende:
Man bekommt jedes Wort der Länge 8 mit genau 3 Vokalen mit folgendem Schema auf genau eine Art:
1. Zunächst wählt man die 3 Plätze für die Vokale OHNE ihnen eine beliebige Reihenfolge zuzuweisen.
2. Dann wählt man die 3 Vokale INKLUSIVE einer beliebigen Reihenfolge. Der erste Vokal kommt an den vordersten der 3 ausgewählten Plätze, der zweite Vokal an den mittleren der 3 ausgewählten Plätze und der dritte Vokal an den hinteren der 3 ausgewählten Plätze.
3. Schließlich wählt man die 5 Konsonanten INKLUSIVE einer beliebigen Reihenfolge. Auch hier kommt der erste Konsonant an den vordersten Konsonanten-Platz usw.
D.h. die Reihenfolge der 3 Vokale wird schon im 2. Schritt festgelegt.
(Tatsächlich haben die 3 Plätze, die im 1. Schritt gewählt werden, automatisch eine natürliche Reihenfolge: Werden etwa die Plätze $8,2,5$ gewählt, so lautet die natürliche Reihenfolge $2,5,8$. Diese Reihenfolge nutzt man im 2. Schritt.)
Viele Grüße
Tobias
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