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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Di 04.12.2012 | | Autor: | Arkathor |
| Aufgabe | | Die in der Aufgabe 2 festgelegte Äquivalenzrelation ~ zerlegt die Menge [mm] \IZ\times\IZ\\{0} [/mm] in in Äquivalenzklassen [a;b]. Für diese Äquivalenzklassen gilt wird eine Addition foglendermaße definiert: [mm] [a;b]\oplus [/mm] [c;d]=[ad+cd;bd]. Beweisen Sie dass die so definierte Addition wohldefiniert ist. |
Hallo
Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe, ich komme nämmlich nicht weiter:
Die Relation heißt Quotionentengleichheit und ist so definiert: (a;b)~(c;d) : [mm] \iff [/mm] ad=cb
Da ich wohldefiniertheit zeigen soll muss ich zeigen, dass wenn ich 2 ungleiche Repräsentanten einer Äquivalenzklasse reinstecke, dann kommt das gleiche raus.
Vor:
(a;b)~(a';b') [mm] \iff [/mm] ab'=a'b
(c;d)~(c';d') [mm] \iff [/mm] cd'=c'd
Beh und z.Z. (ad+cd;bd)~(a'd'+c'd';b'd') [mm] \iff [/mm] (ad+cb)b'd'=(a'd'+c'b')bd
Beweis:
ab'=a'b/cd'
ab'cd'=a'bc'd
acb'd'=a'c'bd
Und von hier komme ich nicht weiter. Ich habe schwierigkeiten den nächsten rechenschritt mir auszudenken.
Ich würde mich über Hilfe freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Di 04.12.2012 | | Autor: | Walde |
Hi Arkathor,
es ist gut, dass du so ordentlich hingeschrieben hast, was zu zeigen ist:
(ad+cb)b'd'=(a'd'+c'b')bd
mein Tipp, multipliziere das noch aus:
adb'd'+cbb'd'=a'd'bd +c'b'bd
Bei deinem Beweisversuch hast du aber einen schlechten Ansatz, deswegen kommst du nicht weiter. Geh einfach von der linken Seite der Gleichung aus und forme so um, unter Verwendung der Voraussetzungen ab'=a'b und cd'=c'd , dass die rechte Seite da steht. Ich denke, du darfst verwenden, dass in [mm] \IZ [/mm] das Kommutativgesetz gilt, das wirst du brauchen.
LG walde
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