Wohldefiniertheit einer Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Di 25.05.2004 | | Autor: | Nelly |
Hallo,
ich habe ein Problem, bei einer Abbildung die Wohldefiniertheit einer Abbildung zu beweisen. Kann mir da vielleicht jemand helfen?
Also es geht um folgende Abbildung
g: M/U -> phi(M)+phi(U)
x+U -> phi(x)+phi(U)
Wobei phi: M -> M' ein Homomorphismus; M,M' Moduln; U Untermodul von M und Kern(phi) Teilmenge von U.
Tut mir leid, hätte das gerne anders geschrieben mit den ganzen Symbolen, aber mein Computer lässt mich nicht darauf zugreifen.
Vielen Dank schon mal!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Nelly,
> ich habe ein Problem, bei einer Abbildung die
> Wohldefiniertheit einer Abbildung zu beweisen. Kann mir da
> vielleicht jemand helfen?
> Also es geht um folgende Abbildung
>
> g: M/U -> phi(M)+phi(U)
> x+U -> phi(x)+phi(U)
>
> Wobei phi: M -> M' ein Homomorphismus; M,M' Moduln; U
> Untermodul von M und Kern(phi) Teilmenge von U.
Du mußt hier zeigen, dass die Definition dieser Abbildung von der Wahl der Repräsentanten unabhängig ist.
Warum? Das wird klar, wenn man sich überlegt, was bei so einer Abbildung alles schief gehen könnte, aber hier trotzdem stillschweigend vorausgesetzt wird.
Nehmen wir mal ein einziges Elemente aus M/U her und stellen es auf zwei verschiedene Arten dar:
[mm] $x_1+U,x_2+U\in [/mm] M/U$ mit [mm] $x_1\not=x_2$ [/mm] und [mm] $x_1+U=x_2+U$
[/mm]
Das sind also zwei verschiedene Repräsentanten desselben Elements aus $M/U$ (z.B. gilt, falls [mm] $u\in [/mm] U$: $x+U=(x+u)+U$; es gibt also tatsächlich verschiedene Repräsentanten, falls [mm] $U\not=\{\}$)
[/mm]
Da unsere beiden Repräsentanten [mm] $x_1+U,x_2+U$ [/mm] dasselbe Element in $M/U$ darstellen, müssten sie doch auch durch [mm] $\phi$ [/mm] auf dasselbe Element abgebildet werden; andernfalls wäre die Abbilgung ja keine solche (bei einer Abbildung wird ja jedem Element eindeutig ein anderes zugeordnet).
Und das ist hier auch genau zu überprüfen, ein bisschen mathematischer:
Ist durch die Definition der Abbildung sicher gestellt, dass für zwei Repräsentanten [mm] $x_1+U,x_2+U\in [/mm] M/U$, [mm] $x_1\not=x_2$, $x_1+U=x_2+U$ [/mm] gilt:
[mm] $\phi(x_1+U)=\phi(x_2+U)$?
[/mm]
Das ist nun deine Aufgabe, falls du mehr Hilfe benötigst, melde dich einfach wieder.
> Tut mir leid, hätte das gerne anders geschrieben mit den
> ganzen Symbolen, aber mein Computer lässt mich nicht darauf
> zugreifen.
Die mathematischen Symbole sind unabhängig von den Fähigkeiten des Browsers/Computers, denn sie erfodern nur die textuelle Eingabe von Befehlen; hier gibt es eine Anleitung dazu.
Viele Grüße,
Marc
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