Wohldefiniertheit, Brüche < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Auf eine Menge A/~ der dazugehörigen Äquivalenzklassen definieren wir wie folgt die Addition und Multiplikation:
+: [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc, bd)]
$*: [(a,b)]*[(c,d)]=[(ac, bd)]$
Zeigen Sie, dass diese Definitionen unabhängig von der Wahl der Repräsentanten sind, d. h. dass die Operationen wohldefiniert sind. |
Hallo Freunde der Mathematik,
ich hatte bereits eine ähnliche Aufgabe hier ins Forum gestellt und danach meine Rechnung aufgebaut. Ich wollte wissen, ob meine Ideen so richtig sind bzw. die Beweisführung.
Zu zeigen:
(a,b)~(a',b') und (c,d)~(c',d') [mm] $\iff \frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}\wedge \frac{c}{d}=\frac{c'}{d'}\Rightarrow [(a,b)]+[(c,d)]\sim [(a',b')]+[(c',d')]\wedge [(a,b)]*[(c,d)]\sim [/mm] [(a',b')]*[(c',d')] $
[mm] $[(a,b)]+[(c,d)]=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}=[(ad+bc, [/mm] bd)]=[(a'd'+b'c', [mm] b'd')]=\frac{a'd'+b'c'}{b'd'}=\frac{a'}{b'}+\frac{c'}{d'}=[(a',b')]+[(c',d')] [/mm] $
[mm] $[(a,b)]*[(c,d)]=\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}=[(ac, [/mm] bd)]=[(a'c', [mm] b'd')]=\frac{a'c'}{b'd'}=\frac{a'}{b'}*\frac{c'}{d'}=[(a',b')]*[(c',d')] [/mm] $
Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus.
Liebe Grüße
Christoph
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:12 So 23.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Christoph,
> Auf eine Menge A/~ der dazugehörigen Äquivalenzklassen
> definieren wir wie folgt die Addition und Multiplikation:
>
> +: [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc, bd)]
> [mm]*: [(a,b)]*[(c,d)]=[(ac, bd)][/mm]
>
> Zeigen Sie, dass diese Definitionen unabhängig von der
> Wahl der Repräsentanten sind, d. h. dass die Operationen
> wohldefiniert sind.
> Hallo Freunde der Mathematik,
>
> ich hatte bereits eine ähnliche Aufgabe hier ins Forum
> gestellt und danach meine Rechnung aufgebaut. Ich wollte
> wissen, ob meine Ideen so richtig sind bzw. die
> Beweisführung.
>
> Zu zeigen:
>
> (a,b)~(a',b') und (c,d)~(c',d') [mm]\iff \red{\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}}\wedge \red{\frac{c}{d}}=\red{\frac{c'}{d'}}\Rightarrow [(a,b)]+[(c,d)]\sim [(a',b')]+[(c',d')]\wedge [(a,b)]*[(c,d)]\sim [(a',b')]*[(c',d')][/mm]
>
> [mm][(a,b)]+[(c,d)]=\red{\frac{a}{b}}+\red{\frac{c}{d}}=\red{\frac{ad+bc}{bd}}=[(ad+bc, bd)]=[(a'd'+b'c', b'd')]=\red{\frac{a'd'+b'c'}{b'd'}}=\red{\frac{a'}{b'}}+\red{\frac{c'}{d'}}=[(a',b')]+[(c',d')][/mm]
das sieht doch ganz gut aus. Allerdings kannst/darfst Du hier nicht mit
Brüchen rechnen, denn die kommen in der Definition gar nicht vor. (Es
sei denn, die "Bruchschreibweise" wurde definiert, und Du hast sie uns nur
verschwiegen. Ich kann aber hier nur das kommentieren, was Du uns auch
zur Verfügung stellst - denn nur damit kann ich arbeiten!) Diese
Gleichheiten sind daher zu entfernen! Was mich allerdings zudem stört, ist,
dass Du den Beweis so "wortkarg" führst. Das ist kein guter Stil, das ist
schlechter Stil.
Ich "schmücke" das mal aus, und zeige Dir nun, wie Du das richtig
aufschreiben kannst (ohne solche "Brüche" wie [mm] $a/b\,$ [/mm] etc.):
Wir haben zu zeigen, dass die Wahl der Repräsentanten keinen Einfluss
auf das (jeweilige) Rechenergebnis hat. Es ist also nachzuweisen:
Aus $(a,b) [mm] \sim [/mm] (a',b')$ und $(c,d) [mm] \sim [/mm] (c',d')$ folgt sowohl $[(a,b)]+[(c,d)]=[(a',b')]+[(c',d')]$ als
auch [mm] $[(a,b)]*[(c,d)]=[(a',b')]*[(c',d')]\,.$
[/mm]
1. Zur Addition:
Es gelte also $(a,b) [mm] \sim [/mm] (a',b')$ und $(c,d) [mm] \sim [/mm] (c',d')$. Per Definitionem gilt $[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]$
und [mm] $[(a',b')]+[(c',d')]=[(a'd'+b'c',b'd')]\,.$
[/mm]
Wir haben nun $[(ad+bc,bd)]=[(a'd'+b'c',b'd')]$ zu beweisen. Dazu reicht es, zu beweisen,
dass $(a'd'+b'c',b'd') [mm] \in [/mm] [(ad+bc,bd)]$ gilt. Das wiederum ist gleichwertig mit
$$(a'd'+b'c',b'd') [mm] \cong (ad+bc,bd)\,.$$
[/mm]
Und sicher bedeutet hier $(a,b) [mm] \sim [/mm] (a',b')$ per Definitionem nichts anderes als
[mm] $ab'=a'b\,.$
[/mm]
D.h.: Wir haben die Voraussetzungen [mm] $ab'=a'b\,$ [/mm] und [mm] $cd'=c'd\,.$
[/mm]
Zu beweisen ist, dass daraus dann
[mm] $$(\star)\;\;\;\;\;\;(a'd'+b'c')*bd=(ad+bc)*b'd'$$
[/mm]
folgt.
Beweis:
Wegen [mm] $ab'=a'b\,$ [/mm] und $cd'=c'd$ folgt
$$adb'd'=a'd'*bd [mm] \text{ und }bcb'd'=b'c'*bd$$
[/mm]
und daher
[mm] $$a'd'*\red{\;bd\;}+b'c'*\red{\;bd\;}=ad*\blue{b'd'}+bc*\blue{b'd'}\,.$$
[/mm]
Das bekommst Du nun sicher noch zu Ende gerechnet! (Wir wollen ja die
Gleichheit in [mm] $(\star)$ [/mm] einsehen!)
2. Zur Multiplikation:
> [mm][(a,b)]*[(c,d)]=\frac{a}{b}*\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}=[(ac, bd)]=[(a'c', b'd')]=\frac{a'c'}{b'd'}=\frac{a'}{b'}*\frac{c'}{d'}=[(a',b')]*[(c',d')][/mm]
Das kannst Du dann analog aufschreiben!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel,
danke für deine Antwort. Wie kommst du auf die Aussagen ab'=a'b und cd'=c'd? Ansonsten ist alles klar.
Liebe Grüße
Christoph
|
|
|
| |
|
Hat sich erledigt. Ich bin selbst draufgekommen.
|
|
|
|
