Wohldefiniertheit Abbildung < Einführung Analysis < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei A={z [mm] \in \IC [/mm] : 0 < Re(z) < 1} [mm] \subseteq \IC [/mm] und B={z [mm] \in \IC [/mm] : 0 < Re(z)} [mm] \subseteq \IC [/mm] und f:A [mm] \to [/mm] B, w [mm] \mapsto \bruch{1}{w} [/mm] + 1
Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist. |
Hallo zusammen,
ich weiß was wohldefiniertheit bedeutet. Allgemein heißt es, dass jedes w [mm] \in [/mm] A f(w) [mm] \in [/mm] B ist. Oder anders: f ist eine Abbildung, also linkstotal und rechtseindeutig.
linkstotal: [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] A existiert f(w) [mm] \in [/mm] B.
rechtseindeutig: wenn w [mm] \in [/mm] A, y1 und y2 [mm] \in [/mm] B mit f(w)=y1 und f(w) = y1 [mm] \Rightarrow [/mm] y1 = y2.
Vom Gefühl her ist f eine Abbildung, allerdings weiß ich nicht so richtig, wie ich das formal richtig aufschreibe und damit auch beweisen kann. Ich würde es auch sehr gerne selber hinbekommen, aber weiß nicht so recht, wie ich starten kann...
Edit:
Ich versuche es einfach mal:
Linkstotalität: Sei w [mm] \in [/mm] A.
Es gilt Re(w) [mm] \in [/mm] (0,1) und daraus folgt Re(w) > 0.
Weiter gilt: Re(1 + [mm] \bruch{1}{w}) [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{Re(w)} [/mm] ist sicherlich > 1 und damit gilt f(w) [mm] \in [/mm] B für alle w [mm] \in [/mm] A (da w ja beliebig war).
=> f ist linkstotal.
Rechtseindeutigkeit: sei v,w [mm] \in [/mm] A mit v=w. z.Z.: f(v) = f(w)
Es gilt:
1 + [mm] \bruch{1}{v} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{w}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{1}{v} [/mm] = [mm] \bruch{1}{w}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
v = w
[mm] \Rightarrow [/mm] f(v) = f(w)
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist rechtseindeutig.
Insgesamt [mm] \Rightarrow [/mm] f ist wohldefiniert.
Passt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Do 24.12.2015 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Es sei A = {z [mm] \in \IC [/mm] : 0 < Re(z) < 1 } [mm]\subseteq \IC[/mm]
> und B = {z [mm] \in \IC [/mm] : 0 < Re(z)} [mm]\subseteq \IC[/mm] und
> f:A [mm]\to[/mm] B, w [mm]\mapsto \bruch{1}{w}[/mm]
> + 1
>
> Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist.
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> Hallo zusammen,
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> ich weiß was wohldefiniertheit bedeutet. Allgemein heißt
> es, dass jedes w [mm]\in[/mm] A f(w) [mm]\in[/mm] B ist. Oder anders: f ist
> eine Abbildung, also linkstotal und rechtseindeutig.
>
> linkstotal: [mm]\forall[/mm] w [mm]\in[/mm] A existiert f(w) [mm]\in[/mm] B.
> rechtseindeutig: wenn w [mm]\in[/mm] A, y1 und y2 [mm]\in[/mm] B mit f(w)=y1
> und f(w) = y1 [mm]\Rightarrow[/mm] y1 = y2.
>
> Vom Gefühl her ist f eine Abbildung, allerdings weiß ich
> nicht so richtig, wie ich das formal richtig aufschreibe
> und damit auch beweisen kann. Ich würde es auch sehr gerne
> selber hinbekommen, aber weiß nicht so recht, wie ich
> starten kann...
>
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> Edit:
> Ich versuche es einfach mal:
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> Linkstotalität: Sei w [mm]\in[/mm] A.
> Es gilt Re(w) [mm]\in[/mm] (0,1) und daraus folgt Re(w) > 0.
> Weiter gilt: Re(1 + [mm]\bruch{1}{w})[/mm] = 1 + [mm]\bruch{1}{Re(w)}[/mm]
Das kann ich so kaum glauben! Was ist denn das Inverse zu 1+i? Der Realteil des Inversen liegt nicht mal in der Nähe von 1.
> ist sicherlich > 1 und damit gilt f(w) [mm]\in[/mm] B für alle w
> [mm]\in[/mm] A (da w ja beliebig war).
> => f ist linkstotal.
>
> Rechtseindeutigkeit: sei v,w [mm]\in[/mm] A mit v=w. z.Z.: f(v) =
> f(w)
> Es gilt:
> 1 + [mm]\bruch{1}{v}[/mm] = 1 + [mm]\bruch{1}{w}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]\bruch{1}{v}[/mm] = [mm]\bruch{1}{w}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm]
> v = w
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(v) = f(w)
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist rechtseindeutig.
Dieser Argumentation kann ich mich anschließen.
>
> Insgesamt [mm]\Rightarrow[/mm] f ist wohldefiniert.
>
> Passt das so?
Noch nicht.
Frohe Weihnachten
Dieter
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> > Linkstotalität: Sei w [mm]\in[/mm] A.
> > Es gilt Re(w) [mm]\in[/mm] (0,1) und daraus folgt Re(w) > 0.
> > Weiter gilt: Re(1 + [mm]\bruch{1}{w})[/mm] = 1 +
> [mm]\bruch{1}{Re(w)}[/mm]
>
> Das kann ich so kaum glauben! Was ist denn das Inverse zu
> 1+i? Der Realteil des Inversen liegt nicht mal in der Nähe
> von 1.
>
> > ist sicherlich > 1 und damit gilt f(w) [mm]\in[/mm] B für alle w
> > [mm]\in[/mm] A (da w ja beliebig war).
> > => f ist linkstotal.
Frohe Weihnachten zusammen,
da hast Du recht Dieter.
Das Inverse zu a = 1+1i ist [mm] a^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1-1i}{2}, [/mm] es gilt a * [mm] a^{-1} [/mm] = 1+0i.
Dann versuche ich zu verbessern:
Sei w [mm] \in [/mm] A. (*w sei das komplex konjugierte zu w)
Es gilt Re(w) [mm] \in [/mm] (0,1) => w [mm] \not= [/mm] 0
Weiter gilt: 1 + [mm] \bruch{1}{w} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{w\*}{|w|^{2}}
[/mm]
Der Realteil von w und w* sind identisch. Der Betrag einer komplexen Zahl zum Quadrat ist sicherlich > 0, also auch der Realteil.
Damit folgt doch, f(w) [mm] \in [/mm] B für alle w [mm] \in [/mm] A (da w ja beliebig war).
=> f ist linkstotal.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Fr 25.12.2015 | | Autor: | statler |
... das ist noch nicht so richtig schön hingeschrieben, aber da Weihnachten ist, will ich es gut sein lassen.
Die Rechtseindeutigkeit ist so offensichtlich, daß Fred einen Beweis sogar für überflüssig hält.
Gruß aus HH
Dieter
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Hi,
ich würde das ganze schon ganz gerne "sauber" hinbekommen, allein für das Verständnis.
Was ist denn unsauber? Die Idee mit dem komplex konjugierten zu erweitern ist ja erstmal denke ich der richtige weg. Was fehlt denn an der Argumentation? :)
Ich möchte ja auch mal in den Genuss kommen, was ordentlich verstanden und niedergeschrieben zu haben.
Viele Grüße,
Thomas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Fr 25.12.2015 | | Autor: | statler |
- siehe meinen Vorschlag -
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Fr 25.12.2015 | | Autor: | statler |
Sei w [mm]\in[/mm] A und w* sei die zu w konjugierte Zahl.
Es gilt Re(w) [mm]\in[/mm] (0,1) => w [mm]\not=[/mm] 0
und weiter [mm] |w|^{2} [/mm] > 0.
Damit ist Re (1 + [mm] \bruch{1}{w}) [/mm] = Re(1) + [mm] Re(\bruch{1}{w}) [/mm] = 1 + [mm] Re(\bruch{w\*}{|w|^{2}}) [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{|w|^{2}}*Re(w\*) [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{|w|^{2}}*Re(w) [/mm] > 1 > 0.
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Dankeschön und weiterhin schöne Weihnachtstage!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Do 24.12.2015 | | Autor: | fred97 |
In meinen Augen ist nur zu zeigen:
aus 0 < Re(w) < 1 folgt [mm] Re(\bruch{1}{w}+ [/mm] 1)>0.
FRED
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