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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:01 Mo 13.02.2017 | | Autor: | Windbeutel |
| Aufgabe | Sind die folgenden Abbildungen wohldefiniert?
1. f: [mm] \IZ_8 \to \IZ_6, [/mm] f([x])=[2x].
2. f: [mm] \IZ_3 \to \IZ_9, [/mm] f([x])= [mm] [x^2].
[/mm]
3. f: [mm] \IZ_m \to \IZ_m, [/mm] f([x])=[a*x+b], a,b in [mm] \IZ_m. [/mm] |
Hallo,
da ich nach wie vor große Probleme mit dem Umgang von Äquivalenzklassen habe würde ich mich freuen, jemand über meine Lösungsversuche schauen könnte und im Zweifelsfalle meine(n) Fehler
aufzuzeigen.
1. f: [mm] \IZ_8 \to \IZ_6, [/mm] f([x])=[2x].
Ich glaube, dass ich nun zeigen muss, dass f([x])=f([y])=[2y].
Nun ist y = k*6+x (da 6 der Teiler der y-Werte ist)?
Also ist [2(k*6+x)] = [12k+2x].
Das ist aber nicht durch 8 teilbar, also ist die Funktion nicht wohldefiniert.
2. f: [mm] \IZ_3 \to \IZ_9, [/mm] f([x])= [mm] [x^2].
[/mm]
Dafür ist dann f([x])=f([y])=[2y]= [mm] [(k*9+x)^2] [/mm] = [mm] [81k+x^2]
[/mm]
Nun ist 81k durch 3 teilbar und daher ist die Abbildung wohldefiniert.
3. f: [mm] \IZ_m \to \IZ_m, [/mm] f([x])=[a*x+b], a,b in [mm] \IZ_m.
[/mm]
Dafür ist dann f([y])=[a*y+b]=[a(km+x)+b]=[akm+ax+b].
akm ist durch m teilbar und somit alles wohldefiniert.
Ich bin mir wirklich sehr unsicher was dieses Thema angeht und würde mich über etwas Hilfe freuen.
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> Sind die folgenden Abbildungen wohldefiniert?
> 1. f: [mm]\IZ_8 \to \IZ_6,[/mm] f([x])=[2x].
> 2. f: [mm]\IZ_3 \to \IZ_9,[/mm] f([x])= [mm][x^2].[/mm]
> 3. f: [mm]\IZ_m \to \IZ_m,[/mm] f([x])=[a*x+b], a,b in [mm]\IZ_m.[/mm]
> Hallo,
> da ich nach wie vor große Probleme mit dem Umgang von
> Äquivalenzklassen habe würde ich mich freuen, jemand
> über meine Lösungsversuche schauen könnte und im
> Zweifelsfalle meine(n) Fehler
> aufzuzeigen.
>
>
> 1. f: [mm]\IZ_8 \to \IZ_6,[/mm] f([x])=[2x].
> Ich glaube, dass ich nun zeigen muss, dass
> f([x])=f([y])=[2y].
Hallo,
für die Wohldefinierteit von f ist hier (wie auch in den beiden anderen Teilaufgaben) zu zeigen,
daß aus [x]=[y] folgt, daß auch f([x])=f([y]) ist,
daß zu gleichen Argumenten (auch wenn sie in verschiedenem Gewand daherkommen) also gleiche Funktionswerte gehören.
Wenn Du die Wohldefiniertheit widerlegen möchtest, bringe ein konkretes Gegenbeispiel.
Bei der ersten Teilaufgabe könnte man so überlegen:
Sei [x]=[y].
Wann ist das der Fall? Wir sind ja in [mm] \IZ_8...
[/mm]
Also sind die beiden Äquivalenzklassen gleich, wenn y-x von 8 geteilt wird, oder anders ausgedrückt:
wenn es ein [mm] k\in \IZ [/mm] gibt mit y=8k+x.
Nun schauen wir f([x]) und f([y]) an:
f([x])=[2x]
f([y])=[2y]=[16k+2x].
Nun müssen wir prüfen, ob [2x]=[16k+2x] stimmt. Wir befinden uns jetzt in [mm] \IZ_6.
[/mm]
Ist die Differenz von 2x und 16k+2x in jedem Falle durch 6 teilbar? Man ahnt: nein.
Und nun bastelt man ein Gegenbeispiel, etwa so:
sei x=4 und y=11.
Es ist [4]=[11], denn ...
Jedoch ist [mm] f([4])\not=f([11]),
[/mm]
denn ...
> Nun ist y = k*6+x (da 6 der Teiler der y-Werte ist)?
> Also ist [2(k*6+x)] = [12k+2x].
> Das ist aber nicht durch 8 teilbar, also ist die Funktion
> nicht wohldefiniert.
Irgendwie hast Du die Urbildmenge und die Bildmenge vertauscht.
Wir starten doch in [mm] \IZ_8 [/mm] und bilden in die Menge [mm] \IZ_6 [/mm] ab.
Der gleiche Fehler unterläuft Dir in Aufgabe 2 auch.
>
> 2. f: [mm]\IZ_3 \to \IZ_9,[/mm] f([x])= [mm][x^2].[/mm]
Starte hier mit Deinen neuen Erkenntnissen nochmal neu.
Sei [x]=[y].
Dann gibt es ein [mm] k\in\IZ [/mm] mit y=3k+x.
Nun schau die Funktionswerte an, und überzeuge den Leser davon, daß sie gleich sind.
> Dafür ist dann f([x])=f([y])=[2y]= [mm][(k*9+x)^2][/mm] =
> [mm][81k+x^2][/mm]
> Nun ist 81k durch 3 teilbar und daher ist die Abbildung
> wohldefiniert.
>
> 3. f: [mm]\IZ_m \to \IZ_m,[/mm] f([x])=[a*x+b], a,b in [mm]\IZ_m.[/mm]
Hm. Mit dieser Aufgabe gibt es ein Problem.
a und b sind ja lt. Aufgabenstellung Restklassen modulo m.
Also ist ax+b eine Restklasse modulo m, also Element von [mm] \IZ_m.
[/mm]
Und hiervon wird aber nochmal eine Äquivalenzklasse gebildet irgendwie.
Damit sind wir dann aber nicht mehr imZielraum [mm] \IZ_m.
[/mm]
Wären a und b irgendwelche natürliche Zahlen, meinetwegen auch solche mit [mm] a,b\in\{0,1,2,...,m-1}, [/mm] dann käme ich mit. Dann wäre die Abbildung wohldefiniert...
Ich lasse Deine Frage mal auf teilweise beantwortet, vielleicht fällt noch jemandem etwas Schlaues ein - mir fehlt gerade auch die Zeit, das noch genauer zu durchdenken.
LG Angela
> Dafür ist dann f([y])=[a*y+b]=[a(km+x)+b]=[akm+ax+b].
> akm ist durch m teilbar und somit alles wohldefiniert.
>
>
> Ich bin mir wirklich sehr unsicher was dieses Thema angeht
> und würde mich über etwas Hilfe freuen.
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Danke Dir Angela,
dank deiner Hilfe habe ich es einigermaßen verstanden und konnte auch (2.) lösen.
Nur mit (3.) bin ich nicht weiter vorangekommen und wäre nach wie vor für jede Hilfe dankbar.
Bin für jede Hilfe dankbar.
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Hallo,
es ist gerade etwas schwierig mit dem Antworten, da das Forum offensichtlich unter Serverproblemen leidet.
> Nur mit (3.) bin ich nicht weiter vorangekommen und wäre
> nach wie vor für jede Hilfe dankbar.
> Bin für jede Hilfe dankbar.
>
Ich verstehe bei der 3) den Einwand von angela.h.b nicht so ganz - bis auf die Schreibweise.
Wenn a und b Restklassen sind, dann sollte man den Funktionsterm [a*x+b] anders notieren, damit klarer wird, wa da eigentlich passiert (Multiplikation einer Restklasse mit einer ganzen Zahl, anschließend wird eine Restklasse hinzuaddiert. Das Resultat in der Klammer ist also streng genommen schon eine Restklasse und der Funktionsterm somit eine 'Restklasse einer Restklasse').*
Von der Idee her ist dein Beweis jedoch in meinen Augen korrekt.
*Der Fehler steckt aber ganz offensichtlich in der Aufgabenstellung. Welche Literatur bearbeitest du denn da gerade, wenn ich fragen darf?
Gruß, Diophant
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