Wohldefinierter Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Do 29.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] c\in{\IR} [/mm] und X eine Zufallsvariable mit Werten in [mm] \IZ\setminus{\{0\}} [/mm] sowie [mm] P[X=k]=\bruch{c}{k^2} [/mm] für alle [mm] k\in{\IZ\setminus{\{0\}}}.
[/mm]
Ist in diesem Fall der Erwartungswert [mm] E[X]:=\sum_{k\in{X[\Omega]}} k\cdot{P[X=k]} [/mm] von X als Zahl in [mm] \IR\cup\{+\infty,-\infty\} [/mm] wohldefiniert? |
Hallo Leute,
also um ehrlich zu sein, weiß ich nicht so wirklich, was hier von mir verlangt wird,
da ich etwas Probleme mit dem Begriff wohldefiniert in Zusammenhang mit dem Erwartunsgwert habe.
Wie zeige bzw. überprüfe ich ,ob der Erwartungswert trotz negativer Werte von k noch wohldefiniert ist??
Nun hab ich den Erwartungswert einfach mal konkret ausgerechnet.
Es gilt also:
[mm] E[X]=\sum_{k\in{X[\Omega]}} k\cdot{P[X=k]}=\sum_{k\in{X[\Omega]}} k\cdot{\bruch{c}{k^2}}=c\cdot{\sum_{k\in{X[\Omega]}} \bruch{1}{k}}=c\cdot{(\sum_{k\in{X[\Omega]},k>0} \bruch{1}{k}+\sum_{k\in{X[\Omega]},k<0} \bruch{1}{k})}=c\cdot{(\sum_{k\in{X[\Omega]},k>0} \bruch{1}{k}+\sum_{k\in{X[\Omega]},k>0} (-\bruch{1}{k}))}=c\cdot{(\sum_{k\in{X[\Omega]},k>0} \bruch{1}{k}-\sum_{k\in{X[\Omega]},k>0} \bruch{1}{k})}=c\cdot{0}=0
[/mm]
Der Erwartungswert ist in diesem Fall also gerade 0.
Kann ich daraus womöglich schon folgern, dass E[X] heirbei auch wohldefiniert ist??
Wär klasse, wenn jemand helfen könnte und mir erklärt wie ich denn hier die Wohldefiniertheit nachweisen kann.
Vielen Dank mal!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Do 29.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]c\in{\IR}[/mm] und X eine Zufallsvariable mit Werten in
> [mm]\IZ\setminus{\{0\}}[/mm] sowie [mm]P[X=k]=\bruch{c}{k^2}[/mm] für alle
> [mm]k\in{\IZ\setminus{\{0\}}}.[/mm]
>
> Ist in diesem Fall der Erwartungswert
> [mm]E[X]:=\sum_{k\in{X[\Omega]}} k\cdot{P[X=k]}[/mm] von X als Zahl
> in [mm]\IR\cup\{+\infty,-\infty\}[/mm] wohldefiniert?
>
> Hallo Leute,
> also um ehrlich zu sein, weiß ich nicht so wirklich, was
> hier von mir verlangt wird,
> da ich etwas Probleme mit dem Begriff wohldefiniert in
> Zusammenhang mit dem Erwartunsgwert habe.
Naja, der Begriff steht hier im Zusammenhang mit einer Reihe, naemlich [mm] $\sum_{k\in{X[\Omega]}} k\cdot{P[X=k]}$. [/mm] Da hier einfach [mm] $\sum_{k\in M}$ [/mm] steht mit $M = [mm] X[\Omega]$, [/mm] also einer Menge von Zahlen, ist die Summationsreihenfolge nicht eindeutig.
Jetzt solltest du wissen, dass somit der Grenzwert nur eindeutig existiert, wenn die Reihe absolut konvergent ist.
Jetzt guck dir nochmal deine Rechnung an.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Do 29.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay danke ers mal .
Ich hab mir meine Rechnung auch nochmal angekuckt und bin der Meinung, dass die Reihe nicht absolut konvergent ist,
denn es ist [mm] \sum_{k\in{X[\Omega]}} \left| k\cdot{P[X=k]}\right|=\infty [/mm] und deswegen auch nicht absolut konvergent.
Somit ist der Erwartungswert in diesem Fall auch nicht wohldefiniert.
Ist das dann so okay? Oder war der Verweis auf meine Rechnung anders gemeint? Danke schon mal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Do 29.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich hab mir meine Rechnung auch nochmal angekuckt und bin
> der Meinung, dass die Reihe nicht absolut konvergent ist,
>
> denn es ist [mm]\sum_{k\in{X[\Omega]}} \left| k\cdot{P[X=k]}\right|=\infty[/mm]
> und deswegen auch nicht absolut konvergent.
Ja.
Wobei es hier noch eine kleine Ausnahme gibt. Der Erwartungswert kann auch mit [mm] $\pm \infty$ [/mm] wohldefiniert sein! Dies ist genau dann der Fall, falls entweder die Reihe ueber alle negativen Summanden konvergiert (in dem Fall ist der Erwartungswert [mm] $\infty$) [/mm] oder die Reihe ueber alle positiven Summanden konvergiert (in dem Fall ist der Erwartungswert [mm] $-\infty$). [/mm] (Konvergieren beide, so ist der Erwartungswert endlich; konvergieren beide nicht, ist der Erwartungswert nicht wohldefiniert.)
Falls du das Lebesgue-Integral bzw. das allgemeine Mass-Integral kennst: hier wird das Integral [mm] $\int [/mm] f [mm] d\mu$ [/mm] ja auch definiert als [mm] $\int [/mm] f^+ [mm] d\mu [/mm] - [mm] \int [/mm] f^- [mm] d\mu$ [/mm] und dies auch nur dann, falls hoechstens eins der beiden Integrale [mm] $\infty$ [/mm] ist. Hier hast du den Erwartungswert auch ueber ein solches Mass-Integral definiert, mit dem Zaehlmass [mm] $\mu(A) [/mm] = |A|$ auf [mm] $\IZ$: [/mm] damit ist [mm] $\int [/mm] f [mm] d\mu [/mm] = [mm] \sum_{z \in \IZ} [/mm] f(z)$.
> Somit ist der Erwartungswert in diesem Fall auch nicht
> wohldefiniert.
Genau.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:15 Fr 30.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay soweit alles klar :). Dank dir!!
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