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Wohldefiniert: Tipp/ Verbesserungsvorschläge
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Sa 17.10.2015
Autor: maggie123

Aufgabe
Es seien X = {1,2,...,10}, Y = {1,...,6}und W = {1,...,5}. Des Weiteren seien [mm]f: X \to Y[/mm], [mm]g: W \to X[/mm] und [mm]h: W \to X[/mm] gegeben durch:

[mm]f(x):=\left\{\begin{matrix} x/2, & \mbox{wenn }x\mbox{ gerade} \\ (x+1)/2, & \mbox{wenn }x\mbox{ ungerade} \end{matrix}\right. [/mm]

[mm]g(w)=2w[/mm]
[mm]h(w)=2w-1[/mm]
Zeigen Sie, dass es such um drei wohldefinierte Abbildungen handelt. Ist f Injektiv, surjektiv oder beides?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hey:)

Ich habe vor kurzem mit dem Mathematikstudium begonnen und habe leider noch einzige Schwierigkeiten mit der Beweisführung und wie ich diesen dann am Ende aufschreiben soll. Ich erkenne, dass alle 3 Abbildungen wohldefiniert sind und dass f weder surjektiv, noch Injektiv ist, bin mir aber unsicher wie ich das nun zeigen soll.. Mein bester "Ansatz" wäre bis jetzt:

Setze [mm]X_{1}:=\left\{x | x=2m \le 10 \land m \in \IN\right\} [/mm] und [mm]X_{2}:=\left\{x | x=2m-1\le 10 \land m \in \IN\right\} [/mm], dann ist [mm]X=X_{1}\cup X_{2} [/mm] disjunkte Vereinigung von [mm]X_{1}[/mm] und [mm]X_{2}[/mm]und f lässt sich schreiben als:

[mm]f(x):=\left\{\begin{matrix} x/2, & \mbox{wenn }x\in X_{1} \\ (x+1)/2, & \mbox{wenn }x\in X_{2} \end{matrix}\right. [/mm]

Und es gilt:

[mm] f(x)=f(2m)=\frac{2m}{2}=m [/mm] für alle [mm] x \in X_{1}[/mm]
[mm] f(x)=f(2m-1)=\frac{(2m-1)+1}{2}=m [/mm] für alle [mm] x \in X_{2}[/mm]
Des Weiteren ist:
[mm]2\le 2m \le 10 \Longleftrightarrow 1\le m \le 5[/mm]
[mm]1\le 2m-1 \le 9 \Longleftrightarrow 1\le m \le 5[/mm]
Aus [mm] m \in \IN [/mm] und [mm]1\le m \le 5[/mm] folgt:
[mm]f(X) = W \subset Y[/mm]
Also ist f wohldefiniert, aber nicht surjektiv. Aufgrund von [mm]\left| X \right| > \left| W \right| [/mm]kann f auch nicht Injektiv sein.
Aus dem Zusammenhang
[mm] f(x) = f(2m)=f(2w)=f(g(w))=w [/mm] für  [mm]m=w[/mm] und [mm]m,w \in W[/mm]
[mm] f(x) = f(2m-1)=f(2w-1)=f(h(w))=w [/mm] für  [mm]m=w[/mm] und [mm]m,w \in W[/mm]

folgt, dass g und h ebenfalls wohldefiniert sein müssen.


Irgendwie kommt mir das viel zu kompliziert vor und bin mir da noch total unsicher. Bin für jede Hilfe dankbar:(



VG


maggie

        
Bezug
Wohldefiniert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Sa 17.10.2015
Autor: schachuzipus

Hallo maggie und [willkommenmr],


> Es seien X = {1,2,...,10}, Y = {1,...,6}und W = {1,...,5}.
> Des Weiteren seien [mm]f: X \to Y[/mm], [mm]g: W \to X[/mm] und [mm]h: W \to X[/mm]
> gegeben durch:

>

> [mm]f(x):=\left\{\begin{matrix} x/2, & \mbox{wenn }x\mbox{ gerade} \\ (x+1)/2, & \mbox{wenn }x\mbox{ ungerade} \end{matrix}\right.[/mm]

>

> [mm]g(w)=2w[/mm]
> [mm]h(w)=2w-1[/mm]
> Zeigen Sie, dass es such um drei wohldefinierte
> Abbildungen handelt. Ist f Injektiv, surjektiv oder
> beides?

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>

> Hey:)

>

> Ich habe vor kurzem mit dem Mathematikstudium begonnen und
> habe leider noch einzige Schwierigkeiten mit der
> Beweisführung und wie ich diesen dann am Ende aufschreiben
> soll. Ich erkenne, dass alle 3 Abbildungen wohldefiniert
> sind und dass f weder surjektiv, noch Injektiv ist,

[ok]

> bin mir
> aber unsicher wie ich das nun zeigen soll.. Mein bester
> "Ansatz" wäre bis jetzt:

>

> Setze [mm]X_{1}:=\left\{x | x=2m \le 10 \land m \in \IN\right\}[/mm]
> und [mm]X_{2}:=\left\{x | x=2m-1\le 10 \land m \in \IN\right\} [/mm],
> dann ist [mm]X=X_{1}\cup X_{2}[/mm] disjunkte Vereinigung von [mm]X_{1}[/mm]
> und [mm]X_{2}[/mm]und f lässt sich schreiben als:

>

> [mm]f(x):=\left\{\begin{matrix} x/2, & \mbox{wenn }x\in X_{1} \\ (x+1)/2, & \mbox{wenn }x\in X_{2} \end{matrix}\right.[/mm]

>

> Und es gilt:

>

> [mm]f(x)=f(2m)=\frac{2m}{2}=m[/mm] für alle [mm]x%2520%255Cin%2520X_%257B1%257D[/mm]

>

> [mm]f(x)=f(2m-1)=\frac{(2m-1)+1}{2}=m[/mm] für alle [mm]x \in X_{2}[/mm]

>

> Des Weiteren ist:
> [mm]2\le 2m \le 10 \Longleftrightarrow 1\le m \le 5[/mm]
> [mm]1\le 2m-1 \le 9 \Longleftrightarrow 1\le m \le 5[/mm]

>

> Aus [mm]m \in \IN[/mm] und [mm]1\le m \le 5[/mm] folgt:
> [mm]f(X) = W \subset Y[/mm]
> Also ist f wohldefiniert, aber nicht
> surjektiv. Aufgrund von [mm]\left| X \right| > \left| W \right| [/mm]kann
> f auch nicht Injektiv sein.
> Aus dem Zusammenhang
> [mm]f(x) = f(2m)=f(2w)=f(g(w))=w[/mm] für [mm]m=w[/mm] und [mm]m,w \in W[/mm]
> [mm]f(x) = f(2m-1)=f(2w-1)=f(h(w))=w[/mm]
> für [mm]m=w[/mm] und [mm]m,w \in W[/mm]

>

> folgt, dass g und h ebenfalls wohldefiniert sein müssen.

>
>

> Irgendwie kommt mir das viel zu kompliziert vor und bin mir
> da noch total unsicher. Bin für jede Hilfe dankbar:(

Boah, das ist ja mächtig umständlich.

Es genügt doch je ein Gegenbsp. anzugeben.

Wegen [mm]f(1)=f(2)=1[/mm] kann [mm]f[/mm] nicht injektiv sein, und da [mm]6\in Y[/mm] kein Urbild in [mm]X[/mm] unter [mm]f[/mm] hat, ist es auch nicht surjektiv ...

>
>
>

> VG

>
>

> maggie

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Wohldefiniert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 Sa 17.10.2015
Autor: maggie123

Vielen dank für die schnelle Antwort:)
Dass es einfacher ist ein Gegenbeispiel zu nennen sehe ich ein, aber ich muss doch auch zeigen, dass f, g und h wohldefiniert sind, also zu jedem [mm] x \in X[/mm] existiert genau ein [mm]y \in Y[/mm], sodass [mm]f(x)=y[/mm]. Bei den Abbildungen sieht man das sofort, aber man soll das ja trotzdem "beweisen".. Ich hoffe du verstehst was ich meine


VG

Maggie

Bezug
                        
Bezug
Wohldefiniert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Sa 17.10.2015
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Vielen dank für die schnelle Antwort:)
> Dass es einfacher ist ein Gegenbeispiel zu nennen sehe ich
> ein, aber ich muss doch auch zeigen, dass f, g und h
> wohldefiniert sind, also zu jedem [mm]x \in X[/mm] existiert genau
> ein [mm]y \in Y[/mm], sodass [mm]f(x)=y[/mm]. Bei den Abbildungen sieht man
> das sofort, aber man soll das ja trotzdem "beweisen".. Ich
> hoffe du verstehst was ich meine

Denke schon ;-)

Schreibe doch am einfachsten die einzelnen Bilder hin, die Mengen sind ja doch sehr überschaubar ...

Für f:

[mm] $1\mapsto 1\in [/mm] Y$
[mm] $2\mapsto 1\in [/mm] Y$
[mm] $3\mapsto 2\in [/mm] Y$ usw.

>
>

> VG

>

> Maggie

Grüße

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Wohldefiniert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:01 Sa 17.10.2015
Autor: maggie123

Daran habe ich tatsächlich gar nicht gedacht. Die Beweise an der Tafel sehen immer so allgemein aus, dass ich das echt unnötig verkompliziert habe. Vielen vielen Dank!

VG

maggie

Bezug
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