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Hallo!
Ich habe eben noch eine Ungleichung gelöst, und zwar folgende :
[mm] \wurzel{x^2-x-12} [/mm] < x
Ich habe zuerst die Nullstelle des Termes unter der Wurzel berechnet. da komme ich auf 4.
Wenn ich aber die Gleichung dann normal auflöse, dann erhalte ich:
zeurst habe ich das ganze quadriert, ergibt
[mm] x^2-x-12 [/mm] < [mm] x^2 x^2 [/mm] subtrahiert
-x-12 < o 12 addiert
-x < 12 mit (-1 ) multipliziert
x < -12
Aber das ist doch irgendwie ein Widerspruch, oder?
Also Lösungsmenge ist in den Lösungen das Intervall 4 bis unendlich angegeben, wobei 4 in dem Intevall liegt, unendlich nicht....
Verstehe nicht wie man darauf kommt?
PS: Sorry für die Flut an Fragen aber ich habe heute einen Mathetag eingelegt wo ich alles wiederhole und unklare Sachen klären mag :0)
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Hallo rotespinne!
Dein Lösungsweg mit Quadrieren usw. ist richtig! Aber nur bis zum letzten Schritt: Bei Multiplikation mit negativen Zahlen dreht sich das Ungleichheitszeichen um!
Allerdings musst Du hier auch noch die Probe machen, da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist!
Zudem musst Du auch den Definitionsbereich dieser Ungleichung beachten, da gelten muss:
[mm] $x^2-x-12 [/mm] \ = \ (x-4)*(x+3) \ [mm] \ge [/mm] \ 0$
Diese Ungleichung ist erfüllt, wenn beide Faktoren negativ sind oder beide positiv:
$x-4 \ < \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ < \ 4$
$x+3 \ < \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ < \ -3$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x \ < \ -3$
$x-4 \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \ge [/mm] \ 4$
$x+3 \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \ge [/mm] \ -3$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x \ [mm] \ge [/mm] \ 4$
Damit lautet der Definitionsbereich dieser Ungleichung, der bei der Lösung auch beachtet werden muss:
[mm] $\left] \ -\infty; \ -3 \ \right[ [/mm] \ \ [mm] \cup [/mm] \ \ [mm] \left[ \ 4; \ \infty \ \right[$
[/mm]
Da die Wurzel auch immer positive Werte liefert, kann der Bereich für negative $x_$ (wegen der rechten Seite der Ungleichung) auch gleich ausgeschlossen werden, so dass verbleibt: [mm] $\left[ \ 4; \ \infty \ \right[$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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