Wkt. quadrat. Gl. -> real Lsg. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Es seien U,V,W unabhängige und R(0,1)-verteilte zufällige Variablen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat die quadratische Gleichung [mm] Ux^2+Vx+W=0 [/mm] reelle Lösungen? |
Hallo,
bei dieser Aufgabenstellung komme ich gar nicht weiter. Man kann das Ganze ja auf folgendes reduzieren:
[mm] V^2-4WU\geq0
[/mm]
Und nun?
Hab an eine Zufallsvariablentransformation gedacht, aber wie macht man das bei 3 Zufallsvariablen?
Vielen Dank
mfg
Berndte
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Mi 20.12.2006 | | Autor: | luis52 |
Moin Berndte2002,
man kann so verfahren:
i) Bestimme die Dichte [mm] $f_x$ [/mm] von $WU$.
ii) Bestimme die Dichte [mm] $f_y$ [/mm] von [mm] $V^2$.
[/mm]
iii) Bestimme
[mm] $P(V^2\le 4WU)=\int_0^1\int_{y/4}^1f_x(x)f_y(y)\,dx\,dy$.
[/mm]
Man kann zeigen, dass gilt [mm] $f_x(x)=-\ln(x)$, [/mm] $0<x<1$ und [mm] $f_x(x)=0$
[/mm]
sonst. Weiter ist [mm] $f_y(x)=1/(2\sqrt{y})$, [/mm] $0<y<1$ und [mm] $f_y(y)=0$ [/mm] sonst.
Mit Mathematica berechne ich:
[mm] $P(V^2\le [/mm] 4WU)=0.7456$.
Das Ergebnis konnte ich mit einer Simulation mit R untermauern.
hth
|
|
|
|
