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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Sa 20.06.2015 | | Autor: | Audin |
| Aufgabe | Die Lebenszeit eines Gerätes sei exponentialverteilt mit [mm] $\lambda [/mm] = 0.02$; $t$ ist die Zeit in
Jahren.
1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit lebt das Gerät länger als $50$ Jahre?
2) Das Gerät ist bereits etwas mehr als $30$ Jahre alt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
wird es älter als $80$ Jahre?
3) Nach welcher Zeit ist ein Gerät, das zur Zeit $t=0$ produziert wurde, mit einer
Wahrscheinlichkeit von $25%$ noch funktionstüchtig? |
Hallo ich komme leider bei einer Aufgabe nicht weiter:
Ersteinmal zur exponentialverteilung:
Es gilt:
[mm] $F_{X}\left(u\right)=\begin{cases}
0 & \mbox{für }u<0\\
1-e^{-\lambda u} & \mbox{für }u\geq0
\end{cases}$
[/mm]
Also habe ich berechnet:
1) [mm] $P\left(X>50\right)=1-P\left(X\leq50\right)=1-F_{X}\left(50\right)=1-\left(1-e^{-0,02\cdot50}\right)\approx0,3679$
[/mm]
[mm] 2)$P\left(X>30+50\right)=P\left(X>50\right)=1-F_{X}\left(50\right)=1-\left(1-e^{-0,02\cdot50}\right)\approx0,3679$
[/mm]
3) Hier komme ich leider nicht weiter. Gesucht ist also nach welcher zeit t die Wkt. noch 0.25 beträgt.
Ich dachte zunähst das ich dafür die Dichtefunktion benutzen könnte:
[mm] $f_{X}\left(t\right)=\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda t} & \mbox{für }0\leq t<\infty\\
0 & \mbox{sonst}
\end{cases}$
[/mm]
könnte und einfach:
[mm] $F_{X}\left(t\right)=1-e^{-0,02t}&=&0,25$
[/mm]
Umstellen ergibt:
[mm] $1-e^{-0,02t}&=&0,25$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow-e^{-0,02t}&=&-0,75$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow e^{-0,02t}&=&0,75$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow\ln\left(e^{-0,02t}\right)&=&\ln\left(0.75\right)$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow-0,02t&=&\ln\left(0.75\right)$
[/mm]
$t= 14,38$
Also wäre nach über 14 Jahren die Wkt. für einen Defekt 25%
Stimmt das so?
Mit freundlichen Grüßen,
Audin
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Hiho,
> 1)
> [mm]P\left(X>50\right)=1-P\left(X\leq50\right)=1-F_{X}\left(50\right)=1-\left(1-e^{-0,02\cdot50}\right)\approx0,3679[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2)[mm]P\left(X>30+50\right)=P\left(X>50\right)=1-F_{X}\left(50\right)=1-\left(1-e^{-0,02\cdot50}\right)\approx0,3679[/mm]
Das Ergebnis ist ok, aber deine erste Gleichung ist natürlich Blödsinn.
Du schreibst da ja: $P(X>80) = P(X>50)$.
Du hast also die Bedingung vergessen und den Kommentar, warum die Gleichheit gelten soll.
> 3) Hier komme ich leider nicht weiter. Gesucht ist also
> nach welcher zeit t die Wkt. noch 0.25 beträgt.
> Stimmt das so?
Jein. Nicht runden. Die korrekte Antwort ist [mm] $t=\frac{\ln(0.75)}{-0.02}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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