Wkt. - Rezept unbekannt < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Guten Abend!
Die Busse eines Verkehrsbetriebes sind Werktags zu 80% pünktlich. Die Unpünktlichkeit eines Busses wirkt sich nicht auf die Pünktlichkeit der anderen Busse aus. Eine Untersuchung ergab, dass an Sonn-oder Feiertagen sogar 90% der Busse pünktlich sind.
Ein Fahrgast, der zweimal umsteigen musste, äußerte, dass alle drei Busse pünktlich waren. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er an einem Sonn- oder Feiertag gefahren ist (Auf 300 Werktage kommen 65 Sonn- oder Feiertage).
So, wie gehe ich nun heran?
Ich habe einmal gerechnet
p("wochenende drei sind pünktlich")= [mm] (\bruch{9}{10})^3
[/mm]
p("Werktags drei sind pünktlich")= [mm] (\bruch{8}{10})^3
[/mm]
Diese beiden Wahrscheinlichkeiten habe ich addiert und dann durch zwei geteilt, ergab dann 62% (fürs Wochenende)
Laut Lösung ist das Ergebnis jedoch 23,58%
Kann mir jemand helfen?
Danke!!!
Grüße Phoney
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Sa 18.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> Guten Abend!
>
> Die Busse eines Verkehrsbetriebes sind Werktags zu 80%
> pünktlich. Die Unpünktlichkeit eines Busses wirkt sich
> nicht auf die Pünktlichkeit der anderen Busse aus. Eine
> Untersuchung ergab, dass an Sonn-oder Feiertagen sogar 90%
> der Busse pünktlich sind.
> Ein Fahrgast, der zweimal umsteigen musste, äußerte, dass
> alle drei Busse pünktlich waren. Berechnen Sie die
> Wahrscheinlichkeit, dass er an einem Sonn- oder Feiertag
> gefahren ist (Auf 300 Werktage kommen 65 Sonn- oder
> Feiertage).
>
> So, wie gehe ich nun heran?
>
> Ich habe einmal gerechnet
>
> p("wochenende drei sind pünktlich")= [mm](\bruch{9}{10})^3[/mm]
>
> p("Werktags drei sind pünktlich")= [mm](\bruch{8}{10})^3[/mm]
>
> Diese beiden Wahrscheinlichkeiten habe ich addiert und dann
> durch zwei geteilt, ergab dann 62% (fürs Wochenende)
>
> Laut Lösung ist das Ergebnis jedoch 23,58%
>
> Kann mir jemand helfen?
>
> Danke!!!
>
> Grüße Phoney
Hallo Johann,
um deine Aufgabe zu lösen, musst du mit bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnen.
Die Fragen sind also immer, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, wenn dieses
Ereignis eingetreten ist. Hier wären die Kriterien Pünktlichkeit und Feiertag.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Feiertag ist beträgt:
[mm] $P_{Feiertag}=\frac{65}{300}=\frac{13}{60}$
[/mm]
[mm] $P_{Werktag}=\frac{47}{60}$
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl Feiertag ist, als auch ein Bus pünktlich ist,
entspricht dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten, also:
[mm] $P_{Feiertag,pünktlich}=\frac{13}{60}*0,9=0,195$
[/mm]
Nun musst du aber beachten, dass nicht nur ein Bus, sondern 3 Busse pünktlich sein
müssen.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Gruß
Nicolas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 So 19.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Guten Morgen.
> um deine Aufgabe zu lösen, musst du mit bedingten
> Wahrscheinlichkeiten rechnen.
> Die Fragen sind also immer, wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit dafür, wenn dieses
> Ereignis eingetreten ist. Hier wären die Kriterien
> Pünktlichkeit und Feiertag.
>
> Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Feiertag ist beträgt:
> [mm]P_{Feiertag}=\frac{65}{300}=\frac{13}{60}[/mm]
> [mm]P_{Werktag}=\frac{47}{60}[/mm]
>
> Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl Feiertag ist, als auch
> ein Bus pünktlich ist,
> entspricht dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten, also:
> [mm]P_{Feiertag,pünktlich}=\frac{13}{60}*0,9=0,195[/mm]
>
> Nun musst du aber beachten, dass nicht nur ein Bus, sondern
> 3 Busse pünktlich sein
> müssen.
In dem Fall würde ich die 0,195 hoch drei nehmen:
[mm] 0,195^3 [/mm] = 0,0074
(was allerdings den von mir genannten Ergebnis widerspricht)
Und auch bei [mm] (\frac{47}{60}*0,8)^3 [/mm] bekomme ich 24,6% heraus (auch deutlich zu viel)
Also ist es mir hier nicht klar geworden, was ich nun machen muss... Das vorher habe ich allerdings verstanden.
Gruß!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 So 19.03.2006 | | Autor: | Fugre |
Hallo Johann!
> > Nun musst du aber beachten, dass nicht nur ein Bus, sondern
> > 3 Busse pünktlich sein
> > müssen.
>
> In dem Fall würde ich die 0,195 hoch drei nehmen:
> [mm]0,195^3[/mm] = 0,0074
Das Vorgehen ist leider nicht richtig, denn du musst nur die Wahrscheinlichkeit, dass
der Bus pünktlich kommt mit potenzieren. Also wäre die Wahrscheinlichkeit, dass ein
zufälliger Tag ein Feiertag ist und alle drei Busse, mit denen ich an diesem Tag fahre,
pünktlich kommen:
[mm] $P_{Feiertag,3pünktlich}=0,9^3*\frac{13}{60}=0,15795$
[/mm]
[mm] $P_{Werktag,3pünktlich}=0,8^3*\frac{47}{60}\approx [/mm] 0,401$
Nun müssen wir uns erstmal klarmachen, was wir gerade berechnet haben.
Wir haben nämlich die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass wir an einem zufälligen
Tag mit drei Bussen fahren und alle drei Busse pünktlich kommen und ein Feiertag
ist bzw. im zweiten Fall ein Werktag.
Gefragt ist allerdings nicht nach dieser Wahrscheinlichkeit, sondern nach der eines
Feiertags, wenn wir drei mal mit einem pünktlichen Bus gefahren sind.
Wir kennen also vier Wahrscheinlichkeiten:
(1) [mm] $P_{Feiertag,3pünktlich}=0,15795$
[/mm]
(2) [mm] $P_{Feiertag,unpünktlich}\approx0,05872$
[/mm]
(3) [mm] $P_{Werktag,3pünktlich}\approx0,40107$
[/mm]
(4) [mm] $P_{Werktag,unpünktlich}\approx0,38227$
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bus an irgendeinem Tag drei mal pünktlich ist, entspricht der
Summe der Wahrscheinlichkeiten von (1) und (3), also ungefähr $0,55902$.
Jetzt ist es nicht mehr weit, am besten erstellst du dir mal eine Vier-Felder-Tafel, dann sollte es
nicht mehr so schwierig sein.
Gruß
Nicolas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 So 19.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Guten Morgen.
> Wir kennen also vier Wahrscheinlichkeiten:
> (1) [mm]P_{Feiertag,3pünktlich}=0,15795[/mm]
> (2) [mm]P_{Feiertag,unpünktlich}\approx0,05872[/mm]
> (3) [mm]P_{Werktag,3pünktlich}\approx0,40107[/mm]
> (4) [mm]P_{Werktag,unpünktlich}\approx0,38227[/mm]
Wo kommen die Wahrscheinlichkeiten für die unpünktlichkeiten her?
Ich dachte zunächst, dass das die sind, dass ein Bus unpünktlich ist, für mindestens 1 Bus wäre die Wahrscheinlichkeit schon wieder höher.
Alsp
(4) [mm]P_{Werktag,einerunpuenktlich}= \vektor{3\\ 1}*0.2*0.8^2 = 0,384[/mm]
Würde also halbwegs passen, dass das allerdings von dir nicht gemeint ist, sehe ich dann an:
(2) [mm]P_{Feiertag,einerUnpuenktlich}= \vektor{3 \\ 1}*0.1*0.9^2=0,243[/mm]
Ich verstehe hier überhaupt nicht, worüber wir gerade reden.
> Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bus an irgendeinem Tag
> drei mal pünktlich ist, entspricht der
> Summe der Wahrscheinlichkeiten von (1) und (3), also
> ungefähr [mm]0,55902[/mm].
> Jetzt ist es nicht mehr weit, am besten erstellst du dir
> mal eine Vier-Felder-Tafel, dann sollte es
> nicht mehr so schwierig sein.
Und das ERgebnis 0,55902 teile ich dann durch (4)???
Gruß
Johann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 So 19.03.2006 | | Autor: | Fugre |
Guten Morgen!
> > Wir kennen also vier Wahrscheinlichkeiten:
> > (1) [mm]P_{Feiertag,3pünktlich}=0,15795[/mm]
> > (2) [mm]P_{Feiertag,unpünktlich}\approx0,05872[/mm]
> > (3) [mm]P_{Werktag,3pünktlich}\approx0,40107[/mm]
> > (4) [mm]P_{Werktag,unpünktlich}\approx0,38227[/mm]
>
> Wo kommen die Wahrscheinlichkeiten für die
> unpünktlichkeiten her?
> Ich dachte zunächst, dass das die sind, dass ein Bus
> unpünktlich ist, für mindestens 1 Bus wäre die
> Wahrscheinlichkeit schon wieder höher.
Es sind die Wahrscheinlichkeiten, dass mindestens ein Bus unpünktlich
ist, errechnet habe ich sie mit Hilfe der Gegenwahrscheinlichkeit zu dem
Ereignis, dass alle 3 Busse pünktlich sind.
> Alsp
> (4) [mm]P_{Werktag,einerunpuenktlich}= \vektor{3\\ 1}*0.2*0.8^2 = 0,384[/mm]
>
> Würde also halbwegs passen, dass das allerdings von dir
> nicht gemeint ist, sehe ich dann an:
>
> (2) [mm]P_{Feiertag,einerUnpuenktlich}= \vektor{3 \\ 1}*0.1*0.9^2=0,243[/mm]
>
> Ich verstehe hier überhaupt nicht, worüber wir gerade
> reden.
Mir ging es darum die Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln, die wir für die Vier-Felder-Tafel
brauchen.
>
> > Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bus an irgendeinem Tag
> > drei mal pünktlich ist, entspricht der
> > Summe der Wahrscheinlichkeiten von (1) und (3), also
> > ungefähr [mm]0,55902[/mm].
>
> > Jetzt ist es nicht mehr weit, am besten erstellst du dir
> > mal eine Vier-Felder-Tafel, dann sollte es
> > nicht mehr so schwierig sein.
>
> Und das ERgebnis 0,55902 teile ich dann durch (4)???
Nein, die $0,55902$ entsprechen der Wahrscheinlichkeit [mm] $P_{3pünktlich}$, [/mm] dass alle drei
Busse an einem zufälligen Tag pünktlich kommen. Wenn du die Wahrscheinlichkeit [mm] $P_{Feiertag,3pünktlich}$
[/mm]
durch die Wahrscheinlichkeit [mm] $P_{3pünktlich}$ [/mm] teilst, erhältst du die Wahrscheinlichkeit für einen Feiertag unter
der Bedingung, dass alle drei Busse pünktlich waren. Die errechnete Wahrscheinlichkeit beträgt dann ca. $0,28$
und unterscheidet sich somit etwas von deiner Vorgabe.
Gruß
Nicolas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 So 19.03.2006 | | Autor: | Phoney |
> > > Wir kennen also vier Wahrscheinlichkeiten:
> > > (1) [mm]P_{Feiertag,3pünktlich}=0,15795[/mm]
> > > (2) [mm]P_{Feiertag,unpünktlich}\approx0,05872[/mm]
> > > (3) [mm]P_{Werktag,3pünktlich}\approx0,40107[/mm]
> > > (4) [mm]P_{Werktag,unpünktlich}\approx0,38227[/mm]
> Es sind die Wahrscheinlichkeiten, dass mindestens ein Bus
> unpünktlich
> ist, errechnet habe ich sie mit Hilfe der
> Gegenwahrscheinlichkeit zu dem
> Ereignis, dass alle 3 Busse pünktlich sind.
Da muss ich jetzt allerdings noch etwas drauf rumhacken.
(2) [mm] P_{Feiertag,unpünktlich}\approx0,05872
[/mm]
(4) [mm]P_{Werktag,unpünktlich}\approx0,38227[/mm]
sollte sein
p("mind. einer unpuenktlich werktags") = 1-p("alle sind pünktlich")
[mm] =1-0,8^3 [/mm] = 0.488
p("mind. einer unpuenklicht feiertags")=1-p("alle sind pünktlich")
= [mm] 1-0.9^3 [/mm] =0,27
Da ich die nirgends wiederfinde, kann ich ja mal die Wahrscheinlichkeiten für ein bus, zwei busse und drei busse sind unpünktlich berechnen.
p("mind. einer unpuenktlich werktags") = [mm] \vektor{3 \\ 1}*0.2^1*0.8^2+\vektor{3 \\ 2}*0.2^2*0.8^1+\vektor{3 \\ 3}*0.2^3*0.8^0 [/mm] = 0,488
was wiederum mein Ergebnis mit der Gegenwahrscheinlichkeit bestätigt.
Also habe ich keine Ahnung, wovon du redest. Kannst du mir nicht einfach mal zeigen, wie ich rechnerisch daraufkomme...Evtl. kann ich es mir dann zusammen reimen
Vielen dank, dass du deine Zeit hier so verschwendest.
Gruß!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 So 19.03.2006 | | Autor: | Fugre |
Hallo Johann,
ich habe die Wahrscheinlichkeit, dass Feier- bzw. Werktag ist schon eingearbeitet, also
musst du dein Ergebnis noch mit [mm] $\frac{65}{300}$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{235}{300}$ [/mm] multiplizieren.
Das sie schon eingearbeitet ist, erkennst du am Index.
Gruß
Nicolas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 So 19.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hi Fugre.
>
> ich habe die Wahrscheinlichkeit, dass Feier- bzw. Werktag
> ist schon eingearbeitet, also
> musst du dein Ergebnis noch mit [mm]\frac{65}{300}[/mm] bzw.
> [mm]\frac{235}{300}[/mm] multiplizieren.
Und warum sind das [mm] \frac{65}{300} [/mm] und nicht [mm] \frac{65}{365}? [/mm] Man muss da doch das gesamte Jahr betrachten?
Und vielen dank schon einmal! Auch für die vorherigen Fragen.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 So 19.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> Hi Fugre.
>
> >
> > ich habe die Wahrscheinlichkeit, dass Feier- bzw. Werktag
> > ist schon eingearbeitet, also
> > musst du dein Ergebnis noch mit [mm]\frac{65}{300}[/mm] bzw.
> > [mm]\frac{235}{300}[/mm] multiplizieren.
>
> Und warum sind das [mm]\frac{65}{300}[/mm] und nicht [mm]\frac{65}{365}?[/mm]
> Man muss da doch das gesamte Jahr betrachten?
>
> Und vielen dank schon einmal! Auch für die vorherigen
> Fragen.
> Gruß
Hallo Johann,
du hast den Fehler entdeckt. Ich hatte im Kopf, dass im Ursprungsartikel steht:
"Auf 300 Tage kommen 65 Feiertage..."
Damit sollte jetzt aber alles geklärt sein und hier sehen wir auch, warum mein
Ergebnis etwas höher ist, als die Musterlösung; bei mir gibt es einfach zu viele
Feiertage, damit könnte ich aber in Wirklichkeit sehr gut leben  .
Gruß
Nicolas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 So 19.03.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Die letzte Frage lautet:
Zitat von Fugre:
Nein, die 0,55902 entsprechen der Wahrscheinlichkeit $ [mm] P_{3pünktlich} [/mm] $, dass alle drei
Busse an einem zufälligen Tag pünktlich kommen. Wenn du die Wahrscheinlichkeit $ [mm] P_{Feiertag,3pünktlich} [/mm] $
durch die Wahrscheinlichkeit $ [mm] P_{3pünktlich} [/mm] $ teilst, erhältst du die Wahrscheinlichkeit für einen Feiertag unter
der Bedingung, dass alle drei Busse pünktlich waren.
Zitat Ende:
Weswegen haben wir dann die Wahrscheinlichkeit ausgerechnet, dass mindestens ein Bus unpünktlich war? Sehe nun keine Verwendung dafür.
Gruß, Johann
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 So 19.03.2006 | | Autor: | Fugre |
> Hallo.
> Die letzte Frage lautet:
> Zitat von Fugre:
>
> Nein, die 0,55902 entsprechen der Wahrscheinlichkeit
> [mm]P_{3pünktlich} [/mm], dass alle drei
> Busse an einem zufälligen Tag pünktlich kommen. Wenn du
> die Wahrscheinlichkeit [mm]P_{Feiertag,3pünktlich}[/mm]
> durch die Wahrscheinlichkeit [mm]P_{3pünktlich}[/mm] teilst,
> erhältst du die Wahrscheinlichkeit für einen Feiertag
> unter
> der Bedingung, dass alle drei Busse pünktlich waren.
>
> Zitat Ende:
>
> Weswegen haben wir dann die Wahrscheinlichkeit
> ausgerechnet, dass mindestens ein Bus unpünktlich war? Sehe
> nun keine Verwendung dafür.
>
> Gruß, Johann
Hallo Johann,
die Überlegung war einfach das ganze mit einer Vier-Felder-Tafel
zu lösen, die du bei Aufgaben mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
wegen ihrer sehr guten Übersicht sehr häufig findest. Wir haben
mehr Aufwand betrieben als unbedingt nötig, da ich hoffte, dass
die Zusammenhänge so offensichtlicher werden und du somit
einen besseren Überblick erhältst.
Gruß
Nicolas
PS: Das Ergebnis stimmt.
|
|
|
|
