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| Aufgabe | Sei T: [mm] \IC \to \IC [/mm] ein Automorphismus auf [mm] \IR [/mm] mit dem Winkel (T(1),T(i)) = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] = 90°
a) Finde ein Gegenbeispiel, das zeigt, dass T nicht winkeltreu sein muss.
b) Sei c [mm] \in \IC [/mm] mit Re(c) [mm] \not= [/mm] 0 unf Im(c) [mm] \not [/mm] =0. Es gelte für T zusätzlich Winkel (T(c),T(ic)) = [mm] \bruch{\pi}{2}. [/mm] Z.z.: T ist winkeltreu |
Hallo,
ich habe beim Lösen der Aufgabe einige Probs gehabt. Ich poste hier meinen Lösungsansatz bzw. meine Ideen zur Lösung. Kann mir bitte jemand sagen, was ich falsch mache und wie man auf eine Lösung kommt?
Also zu a):
O. E. sei T(1) = 1 und T(i) = i.
Da der Winkel rechtwinklig ist, ist das Skalarprodukt dazu gleich 0, also :
<T(1),T(i)> = Re [mm] \overline{T(i)} [/mm] = 0, also ist T(i) = r i , für [mm] r\in \IR [/mm] \ {0}.
Jetzt muss man doch zwei Bildvektoren Tv und Tw finden, sodass das Skalarprodukt dieser Bildvektoren nicht 0 ist. Somit ware doch die Nicht-Winkeltreue von T gezeigt stimmts?
Ich habe mir einfach mal folgende Vektoren ausgedacht:
Seien v = -1 + i und w = 1+ i
Das Skalarprodukt <v,w> ist 0.
Nun seien die Bildvektoren Tv und Tw so gewählt:
Tv= r i und Tw =-r i
Das Skalarprodukt wäre hier:
<Tv,Tw> = [mm] \vektor{0 \\ r} \circ \vektor{0 \\ -r}= -r^{2}
[/mm]
Somit muss T nicht winkeltreu sein.
Stimmt meine Idee?
Zu b):
Sei c = x+ iy, wobei x und y nicht 0 sind.
Gilt zusätzlich <T(c),T(ic)> = 90°
Z.z. : T ist winkeltreu
Laut einem Lemma gilt:
Eine [mm] \IR-lineare [/mm] Abb. T : [mm] \IC \to \IC [/mm] ist winkeltreu genau dann wenn es ein [mm] \lambda \in \IC [/mm] \ {0} gibt, sodass T(c) = [mm] \lambda [/mm] c gilt für alle c [mm] \in \IC [/mm] oder ein [mm] \mu \in \IC [/mm] \ {0} existiert, sodass T(c) = [mm] \mu \overline{c} [/mm] für alle [mm] \overline{c} [/mm] = x-iy.
Hier fehlt mir leider die weitere Idee zur Lösung. Wie muss ich hier weiter vorgehen?
Vielen Dank.
Fabian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 19.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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