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Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe folgende Aufgabe und komm nicht wirklich weiter, ich hab mir schon ein paar Dinge dazu überlegt.
a) Jeder Winkel ist in 2,4,8, .. gleiche Teile teilbar. Daher ist [mm] cos\alpha [/mm] aus [mm] cos(4\alpha) [/mm] konstruierbar. Zeige das aus der Gleichung die [mm] cos\alpha [/mm] und [mm] cos(4\alpha) [/mm] miteinander verbindet.
b) Nun gibt es aber Winkel [mm] \alpha [/mm] für die [mm] cos\alpha [/mm] nicht konstruierbar ist. Ist das dann ein Widerspruch zur Tatsache, dass der Winkel [mm] 4\alpha [/mm] mit Zirkel und Lineal in 4 gleich große Teile teilbar ist?
Ich habe mir folgendes überlegt:
a)
Satz von Moivre:
[mm] (cos\alpha+i*sin\alpha)^n [/mm] = [mm] (cos(n\alpha)+i*sin(n\alpha) [/mm] = [mm] e^{i*n*\alpha} [/mm] = [mm] (e^{i*\alpha})^{n} [/mm]
also folgt daraus:
[mm] (cos\alpha+i*sin\alpha)^4 [/mm] = [mm] cos(4\alpha)+i*sin(4\alpha) [/mm] =
[mm] cos^4(\alpha)-6*cos^2(\alpha)*sin^2(\alpha)+i[4cos^3(\alpha)*sin(\alpha)-4*cos(\alpha)*sin^3(\alpha)]
[/mm]
wenn man jetzt nur den realteil betrachtet folgt daraus:
[mm] cos(4\alpha)=cos^4(\alpha)-6*cos^2(\alpha)*sin^2(\alpha)
[/mm]
[mm] =cos^4(\alpha)-6*cos^2(\alpha)*(1-cos^2(\alpha)+1-cos^2(\alpha)
[/mm]
[mm] =7cos^4(\alpha)-7cos^2(\alpha)+1
[/mm]
Ich weis nicht ob ich hier überhaupt am richtigen Weg bin, es war nur die einzige Möglichkeit die ich bisher gefunden habe einen Zusammenhang zwischen [mm] cos(\alpha) [/mm] und [mm] cos(4\alpha) [/mm] herzustellen. Ich würde mich auch über andere Lösungswege freuen!
b) hier habe mir noch nicht wirklich was überlegt, außer dass der Winkel 20° zum Beispiel nicht konstruierbar ist. Würde das was bringen wenn ich zeige, dass 60° konstruierbar ist oder gibt es eine allgemeinere Lösung?
Vielen Dank, Confettie :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Di 18.03.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich habe folgende Aufgabe und komm nicht wirklich weiter,
> ich hab mir schon ein paar Dinge dazu überlegt.
>
> a) Jeder Winkel ist in 2,4,8, .. gleiche Teile teilbar.
> Daher ist [mm]cos\alpha[/mm] aus [mm]cos(4\alpha)[/mm] konstruierbar. Zeige
> das aus der Gleichung die [mm]cos\alpha[/mm] und [mm]cos(4\alpha)[/mm]
> miteinander verbindet.
>
> b) Nun gibt es aber Winkel [mm]\alpha[/mm] für die [mm]cos\alpha[/mm] nicht
> konstruierbar ist. Ist das dann ein Widerspruch zur
> Tatsache, dass der Winkel [mm]4\alpha[/mm] mit Zirkel und Lineal in
> 4 gleich große Teile teilbar ist?
>
> Ich habe mir folgendes überlegt:
>
> a)
> Satz von Moivre:
> [mm](cos\alpha+i*sin\alpha)^n[/mm] = [mm](cos(n\alpha)+i*sin(n\alpha)[/mm] =
> [mm]e^{i*n*\alpha}[/mm] = [mm](e^{i*\alpha})^{n}[/mm]
>
> also folgt daraus:
> [mm](cos\alpha+i*sin\alpha)^4[/mm] = [mm]cos(4\alpha)+i*sin(4\alpha)[/mm] =
>
> [mm]cos^4(\alpha)-6*cos^2(\alpha)*sin^2(\alpha)+i[4cos^3(\alpha)*sin(\alpha)-4*cos(\alpha)*sin^3(\alpha)][/mm]
>
> wenn man jetzt nur den realteil betrachtet folgt daraus:
> [mm]cos(4\alpha)=cos^4(\alpha)-6*cos^2(\alpha)*sin^2(\alpha)[/mm]
>
> [mm]=cos^4(\alpha)-6*cos^2(\alpha)*(1-cos^2(\alpha)+1-cos^2(\alpha)[/mm]
> [mm]=7cos^4(\alpha)-7cos^2(\alpha)+1[/mm]
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> Ich weis nicht ob ich hier überhaupt am richtigen Weg bin,
> es war nur die einzige Möglichkeit die ich bisher gefunden
> habe einen Zusammenhang zwischen [mm]cos(\alpha)[/mm] und
> [mm]cos(4\alpha)[/mm] herzustellen. Ich würde mich auch über
> andere Lösungswege freuen!
Das ist bestimmt genau der richtige Zusammenhang. Begruende nun, dass aus der Konstruierbarkeit von [mm] $\cos(4\alpha)$ [/mm] die Konstruierbarkeit von [mm] $\cos(\alpha)$ [/mm] folgt.
>
> b) hier habe mir noch nicht wirklich was überlegt, außer
> dass der Winkel 20° zum Beispiel nicht konstruierbar ist.
> Würde das was bringen wenn ich zeige, dass 60°
> konstruierbar ist oder gibt es eine allgemeinere Lösung?
Meinst Du vielleicht 80°? Mache Dir klar, dass kein Widerspruch vorliegt.
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> Vielen Dank, Confettie :)
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> Das ist bestimmt genau der richtige Zusammenhang.
> Begruende nun, dass aus der Konstruierbarkeit von
> [mm]\cos(4\alpha)[/mm] die Konstruierbarkeit von [mm]\cos(\alpha)[/mm]
> folgt.
Danke! Wie mache ich das am besten? Durch Umformung der Gleichung?
> Meinst Du vielleicht 80°? Mache Dir klar, dass kein
> Widerspruch vorliegt.
Ja genau 80°.
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Du sollst keine Formel erstellen und auch nichts berechnen, sondern die LÄNGE von [mm] Cos(\alpha) [/mm] ermitteln, wenn du die LÄNGE von [mm] cos(4\alpha) [/mm] kennst.
Vorgehen:
Zeichne die Seite a = AB eines Dreiecks mit der Länge [mm] a=cos(4\alpha). [/mm] Errichte in B die Senkrechte auf a (Gerade g). Schlage um A einen Kreis mit Radius 1, der g in C schneidet. Nun hast du ein rechtwinkliges Dreieck konstruiert (Hypothenuse = AC, rechter Winkel bei B), dessen Winkel bei A gerade [mm] 4\alpha [/mm] ist.
Diesen Winkel halbierst du nun zwei mal mit Zirkel und Lineal. Dann bekommst du den Winkel [mm] \alpha [/mm] mit zwei freien Schenkeln. Sagen wir, ein Schenkel ist der Strahl s von A durch B, der andere daneben soll, von A ausgehend, h heißen.
Schlage nun wieder um A einen Kreis mit R. 1. Dieser schneidet s in D. Fälle von D aus das Lot auf h. Du erhältst den Lotfußpunkt L. Strecke AL ist dann [mm] cos(\alpha).
[/mm]
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Danke! Das funktioniert bei 80 = 4*20 Grad aber nicht weil dann ein falscher Wert für 20 Grad herauskommt, ist das weil cos 20 nicht konstruierbar ist? Gibt es da eine logische Erklärung anhand der Zeichnung?
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Die Griechen des Altertums hatten drei mathematische Probleme, die sie mit zirkel und Lineal lösen wollten, aber nicht konnten: Einen beliebigen Winkel dreiteilen, einen Würfel verdoppeln (wenn von Würfel 1 Kantenlänge a bekannt ist, wie bekommt man dann Kantenlänge b von Würfel 2, so dass [mm] b^3 [/mm] = 2 [mm] a^3 [/mm] ist?) und den Kreis quadrieren (wie bekommt man Seite a eine Quadrats, wenn man vom Kreis den Radius r kennt, so dass [mm] a^2 [/mm] = [mm] \pi*r^2 [/mm] ist?).
Man kann nun beweisen, dass alle drei Probleme nicht lösbar sind.
Natürlich kann man zu 180 ° einen Winkel von 60 ° konstruieren, aber nicht durch Dreiteilung des Winkels, sondern durch Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks. Die Mathematiker konnten beweisen, dass man mit Zirkel und Lineal nur ganz bestimmte reguläre Vielecke konstruieren kann (die Ecken sind gleichmäßig über einem Kreis verteilt). So kann man z.B. ein reguläres 17-Eck konstruieren (Gauss überraschte die mathematische Welt in jungen jahren mit dieser Konstruktion und wurde dadurch schlagartig berühmt), das heißt, den Winkel von 360 ° in 17 gleiche Winkel teilen. Grundsätzlich gilt: Man kann einen Winkel von 360°/n genau dann konstruieren, wenn gilt: Betrachtet man alle natürlichen Zahlen von 1 bis n-1 und zählt ab, wie viele davon teilerfremd zu n sind, und ist diese Anzahl eine Zweierpotenz, so ist der Winkel konstruierbar, sonst nicht.
n=3: 1 und 2 sind teilerfremd zu 3, also [mm] 2^1 [/mm] Zahlen, somit ist 360 °/3 = 120 ° konstruierbar.
n=4 --> 90 °: 1 und 3 sind teilerfremd zu 4, also [mm] 2^1 [/mm] Zahlen, konstruierbar
n=5 --> 72 °: 1, 2, 3 und 4 tfr., also [mm] 4=2^2 [/mm] Zahlen, konstruierbar
n=6 --> 60 °: 1 und 5 tfr., also [mm] 2^1 [/mm] Zahlen, konstruierbar
n=7 --> 360°/7: 1, 2, 3, 4, 5 und 6 tfr. also 6 Zahlen : nicht konstruierbar usw.
n:17 Zahlen von 1-16 tfr., also [mm] 2^4 [/mm] Stück, konstruierbar
Insbesondere gilt: 5 ° = 360°:72 gäbe ein 72-Eck, aber 72 hat 24 Teiler und ist nicht konstruierbar. Damit sind aber alle Verdopplungen von 5 ° ebenfalls nicht konstruierbar (10 °, 20 °, 40 °, 80 °, 160 °...), denn die könnte man ja sonst durch Halbieren auf 5 ° bringen.
Wäre nun der sin oder cos oder tan von 80 ° konstruierbar, so könnte man ja - wie an Aufgabe a) gezeigt - daraus 80 ° konstruieren, was aber nicht möglich ist. Also kann man auch sin, cos und tan von 80 ° nicht konstruieren.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Mi 19.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn man 80° nicht konstruieren kann, dann auch nicht 20°
Wenn man cos(80°) irgenwoher hat kann man natürlich auch cos20° aber woher hat man die cos(80°) ? Du kannst konstruieren, 90° und alle [mm] 90/2^n [/mm] ebenso mit 60. dann hört es auf, (natürlich noch Summen aus den so erhaltenen.)
was meinst du damit, dass bei 20° einfalscher Wert rauskommt, wenn du die cos 60 richtig hattest kommt bei der Konstruktion auch cos29 richtig raus, oder du hast was falsch gemacht.
Gruß leduart
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