Winkelfunktion auflösen arcsin < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 So 14.12.2008 | | Autor: | newday |
Hab mal die Winkelfunktion cos(arcsin(x)) und möchte diese auflösen. Laut Rechner ist es [mm] \wurzel{1-x^2} [/mm] nur wie kommt man darauf händisch? muss es ja wohl einen "Trick" geben da ich mit Additionstheorem nur auf -sin(arccos(x)) komme und vor dem genau gleichen Problem stehe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 So 14.12.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Dazu kannst du die Formel sin²z+cos²z=1 ranziehen.
Daraus folgt dann z.B. [mm] cosz=\wurzel{1-sin²z} [/mm] (zumindest für cosz [mm] \ge [/mm] 0). Wenn du jetzt z:=arcsin(x) setzt, dann erhälst du eine deiner gewünschten Formeln! Mit der anderen ist es dann das selbe Prinzip.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 So 14.12.2008 | | Autor: | newday |
Danke, versteh jetzt wie das funktioniert!
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> Hab mal die Winkelfunktion cos(arcsin(x)) und möchte diese
> auflösen. Laut Rechner ist es [mm]\wurzel{1-x^2}[/mm] nur wie kommt
> man darauf händisch? muss es ja wohl einen "Trick" geben da
> ich mit Additionstheorem nur auf -sin(arccos(x)) komme und
> vor dem genau gleichen Problem stehe!
hi newday,
Schau dir das Ganze am Einheitskreis in der x-y-Ebene an !
Ich schreibe die Formel lieber mit der Variablen y statt mit x.
Für eine beliebige Zahl y [mm] \in [/mm] [-1;+1] ist arcsin(y) derjenige
Winkel [mm] \varphi \in [-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2}] [/mm] mit [mm] sin(\varphi)=y,
[/mm]
also derjenige Winkel, der zum Punkt P(x/y) auf der rechten
Hälfte des Einheitskreises mit der gegebenen y-Koordinate
gehört. Betrachte nun das Dreieck OP'P mit O(0/0), P'(x/0)
und P(x/y). Es hat bei O den Winkel [mm] \varphi, [/mm] und es ist
[mm] cos(arcsin(y))=cos(\varphi)=\bruch{\overline{OP'}}{\overline{OP}}=\bruch{x}{1}=x
[/mm]
Und wie berechnet man x, wenn y gegeben ist ? Klar,
mit Pythagoras. Da [mm] x\ge [/mm] 0 für alle Punkte auf dem
betrachteten Halbkreis ist, gibt es bei der Wurzel auch
kein Vorzeichenproblem, und wir haben:
[mm] cos(arcsin(y))=\wurzel{1-y^2} [/mm] für alle y [mm] \in [/mm] [-1;+1]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 So 14.12.2008 | | Autor: | newday |
thx für die weiterführende Info!
Für mich sind Winkelfunktionen (die über sin cos tan hinausgehen) eigentlich ein spanisches Dorf deswegen reicht es mir mal in eine Formel einzusetzen und dann ein Ergebnis zu erhalten. Hab auch nie verstanden warum arcsin(x) nicht einfach [mm] \bruch{1}{sin(x)} [/mm] ist. Wäre eigentlich viel einfacher so, ist aber leider eben nicht...
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> thx für die weiterführende Info!
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> Für mich sind Winkelfunktionen (die über sin cos tan
> hinausgehen) eigentlich ein spanisches Dorf deswegen reicht
> es mir mal in eine Formel einzusetzen und dann ein Ergebnis
> zu erhalten.
Als Student der Naturwissenschaften wäre es für dich
trotzdem ein lohnendes (und nach meiner bescheidenen
Ansicht notwendiges) Ziel, die Formeln, mit denen du
arbeitest, tatsächlich auch verstehen zu lernen.
Ich verspreche dir, dass der Lohn dafür grösser sein
wird, als der Aufwand, den du nur einmal leisten musst.
> Hab auch nie verstanden warum arcsin(x) nicht
> einfach [mm]\bruch{1}{sin(x)}[/mm] ist. Wäre eigentlich viel
> einfacher so, ist aber leider eben nicht...
Mit gleichem Recht könntest du fragen, warum
man sich mit Quadratwurzeln herumschlagen soll,
es wäre doch viel einfacher, statt [mm] \wurzel{x} [/mm] einfach
[mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] zu nehmen ...
Mathematische Formeln kann man eben nicht einfach
so frei erfinden, sondern sie müssen in vielfältigster
Weise zusammenpassen. Wäre dies anders, so wäre
Mathematik absolut nutzlos, etwa so wie Kaffeesatzlesen.
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 So 14.12.2008 | | Autor: | Teufel |
Hey!
Perfekte Ergänzung. :P
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 So 14.12.2008 | | Autor: | newday |
Eigentlich wäre ich ja an Mathematik sogar etwas interessiert nur leider kommt sie zu kurz da ich in meinem Studium nur (oder zum Glück ;) ) 2 Semester Mathe habe. Neben Mathe konzentriere ich mich lieber auch auf die Hauptstudium-LVA's was ja der Grund für meine Studienwahl war. Die Vorlesung in Mathe ist langweilig (ich weiß das ist sehr subjektiv aber ein sehr trockener Vortrag ist es aufjedenfall) und die Übungen dazu sind mehr oder weniger Abschreibübungen, da man sie ja sowieso nicht so einfach lösen kann, auch nach mehreren Stunden überdenken schafft man die Beispiele (oftmals) nicht.
Was dazukommt ist, dass es einfach auf unserer Uni keine Aufbaukurse für Mathematik gibt und somit alles vorausgesetzt wird was in der Schule "angeblich" Grundstoff war (jede Schule sieht das etwas anders was dieser angebliche "Grundstoff" sein soll).
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> Eigentlich wäre ich ja an Mathematik sogar etwas
> interessiert ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> nur leider kommt sie zu kurz da ich in meinem
> Studium nur 2 Semester Mathe habe.
ja, da spart der Staat doch wohl am falschen Ort,
wenn man bedenkt, welch zentrale Rolle Mathematik
in den Naturwissenschaften spielt
> Neben Mathe konzentriere ich mich lieber auch auf die
> Hauptstudium-LVA's was ja der Grund für meine Studienwahl
> war.
das können wir alle irgendwie nachvollziehen
> Die Vorlesung in Mathe ist langweilig (ich weiß das
> ist sehr subjektiv aber ein sehr trockener Vortrag ist es
> aufjedenfall)
das müsste eigentlich nicht sein, denn man kann
auch Mathe so rüberbringen, dass sie - nebst viel
Arbeit - auch noch Spass macht
> und die Übungen dazu sind mehr oder weniger
> Abschreibübungen, da man sie ja sowieso nicht so einfach
> lösen kann, auch nach mehreren Stunden überdenken schafft
> man die Beispiele (oftmals) nicht.
versuche trotzdem, dich nicht nur aufs Abschreiben
zu verlegen, sondern mach' in einer Gruppe mit,
wo ihr euch gegenseitig unterstützen könnt !
> Was dazukommt ist, dass es einfach auf unserer Uni keine
> Aufbaukurse für Mathematik gibt und somit alles
> vorausgesetzt wird was in der Schule "angeblich" Grundstoff
> war (jede Schule sieht das etwas anders was dieser
> angebliche "Grundstoff" sein soll).
umso besser, dass es da noch solche Anlaufstellen
wie den MatheRaum gibt, wo eine ganze Reihe qualifizierter
Leute sich darum bemühen, bei Fragen zur Mathe
behilflich zu sein ...
LG al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 So 14.12.2008 | | Autor: | Teufel |
Auf dem Taschenrechner steht zwar [mm] sin^{-1}x, [/mm] aber hier ist wirklich nicht damit [mm] \bruch{1}{sinx} [/mm] gemeint, sondern arcsinx.
Die Umkehrfunktion kannst du gut anschaulich daran erkennen, dass sie aus der Ausgangsfunktion durch Spiegelung an der Geraden y=x hervorgeht. Manche funktionen kann man auch nicht komplett umkehren, wie z.B. bei f(x)=x² und [mm] f^{-1}(x)=\wurzel{x}. [/mm] Hier wurde nur die rechte Hälfte der Parabel an y=x gespiegelt und man erhält die Wurzelfunktion.
Und wenn du die jetzt [mm] g^{-1}(x)=\bruch{1}{sinx} [/mm] zeichnen würdest, würdest du sehen, dass die Funktion ganz anders als eine Spiegelung von g(x)=sinx.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Richtige Umkehrfunktion ist grün, die falsche rot. :)
Auch wenn du nicht direkt danach gefragt hast, vielleicht hilft es dir ja.
Anmerkung: sinx wurde z.B. nur im bereich von [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] bis [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] gespiegelt.
Teufel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 So 14.12.2008 | | Autor: | newday |
erstmal thx für die mühe!
Ich kann mir das ganze jetzt auch besser vorstellen, und du meinst der srcsin ist von [mm] +-\bruch{\pi}{2}? [/mm]
sin ist ja länger gezeichnet...trotzdem eine sehr schöne Graphik.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:15 So 14.12.2008 | | Autor: | Teufel |
Hmm ja, die y-Werte von arcsinx gehen sozusagen von [mm] -\bruch{\pi}{2} [/mm] bis [mm] \bruch{\pi}{2}. [/mm] Was gleichbedeutend mit -90° bis 90° im Gradmaß wäre. Deshalb kriegst du mit dem Taschenrechner und [mm] sin^{-1}x [/mm] auch immer nur einen Winkel in dem Bereich raus.
Für Umkehrfunktionen gilt auch immer: Der Wertebereich der Ausgangsfunktion ist der Definitionsbereich der Umkehrfunktion und der Definitionsbereich der Ausgangsfunktion ist der Wertebereich der Umkehrfunktion.
Oder kurz: [mm] D_f=W_{f^{-1}} [/mm] und [mm] W_f=D_{f^{-1}}.
[/mm]
Daher: Wenn man f(x)=sinx im Intervall [mm] [-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2}] [/mm] umkehrt, dann wird das der Wertebereich von [mm] f^{-1}(x)=arcsinx [/mm] sein.
Und da der Wertebereich vond er Sinusfunktion zwischen 0 und 1 liegt in dem Intervall (und auch überhaupt), ist das dann der Definitionsbereich der Arkussinusfunktion.
Teufel
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