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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Di 01.02.2011 | | Autor: | a-c |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Inlinerrampe mit dem Graphen: [mm] f(x)=0,4(3-e^{0,2x})^2
[/mm]
Das maximale Gefälle der Rampe zwischen dem Anfangspunkt A und dem Tiefpunkt T soll den Winkel 20° nicht übersteigen. Überprüfen Sie, ob dies erfüllt ist.
A(0/1,6)
T( [mm] \bruch{ln3}{0,2} [/mm] / 0) |
Ich hatte mir jetzt überlegt eine Tangente an den Graphen zu legen:
da hatte ich dann folgendes raus:
g(x)= -0,32x+0,152
Dann wollte ich noch eine Gerade durch A legen, die dann ja die Steigung 0 hat:
h(x)= 1,6
Wie berechne ich jetzt den Winkel zwischen g(x) und h(x) ?
Danke im Voraus!
a-c
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Hallo a-c,
> Gegeben ist eine Inlinerrampe mit dem Graphen:
> [mm]f(x)=0,4(3-e^{0,2x})^2[/mm]
>
> Das maximale Gefälle der Rampe zwischen dem Anfangspunkt A
> und dem Tiefpunkt T soll den Winkel 20° nicht
> übersteigen. Überprüfen Sie, ob dies erfüllt ist.
>
> A(0/1,6)
> T( [mm]\bruch{ln3}{0,2}[/mm] / 0)
> Ich hatte mir jetzt überlegt eine Tangente an den Graphen
> zu legen:
>
> da hatte ich dann folgendes raus:
>
> g(x)= -0,32x+0,152
Poste doch mal, wie Du auf diese Gerade kommst.
>
> Dann wollte ich noch eine Gerade durch A legen, die dann ja
> die Steigung 0 hat:
>
> h(x)= 1,6
>
> Wie berechne ich jetzt den Winkel zwischen g(x) und h(x) ?
>
>
> Danke im Voraus!
>
> a-c
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Di 01.02.2011 | | Autor: | a-c |
also allgemeine Formel für eine Tangente ist ja y=mx+b
Die Steigung m ergibt sich wenn man in die Ableitung f'(x)=-0,48e^(0,2x) +0,16e^(0,4x) für x 0 einsetzt. dann kommt da -0,32 heraus.
y= -0,32x+b
Dann habe ich ja die Koordinaten von A, die ich in den Punkt einsetzen kann:
0=-0,32*1,6+b
und dann hab ich für b=0,512
Womit sich die GErade g(x)= -0,32x+0,512 ergibt.
ISt das richtig oder habe ich hier schon etwas falsch gemacht?
LG a-c
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Di 01.02.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Die Steigung m ergibt sich wenn man in die Ableitung f'(x)=-0,48e^(0,2x) +0,16e^(0,4x) für x 0 einsetzt. dann kommt da -0,32 heraus.
die Ableitung ist richtig (inklusive der Vorzeichen, welch seltener Anblick hier =). Du mußt aber noch begründen, warum Du 0 einsetzt.
> ISt das richtig oder habe ich hier schon etwas falsch gemacht?
Die Steigung ist richtig, b sicher auch (die Lage der Tangente ist für den Winkel unerheblich, ich hab's nicht nachgeprüft ^^).
Zeichne mal eine Gerade und mal ein Steigungsdreieck an die Gerade. Die Steigung einer Geraden ist doch $m = [mm] \frac{\Delta y}{\Delta x}$, [/mm] d.h. die Länge der senkrechten Seite des Dreiecks durch die Länge der waagrechten. Zwischen den beiden ist ein rechter Winkel und Du sucht einen der beiden anderen Winkel.
Rechtwinkliges Dreieck, zwei Seiten bekannt, ein Winkel gesucht. Wie kommt man hier weiter?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Di 01.02.2011 | | Autor: | a-c |
Okay:
Also kann ich auch praktisch den vorgegeben Punkt T für das Steigungsdreieck benutzen oder?
Dann hätte ich ja für x= [mm] \bruch{ln3}{0,2} [/mm] und für y=1,6 oder?!
Naja und dann kann ich den Winkel auch mit Hilfe des Tangens von [mm] \alpha [/mm] berechnen oder? Weil [mm] tan\alpha= [/mm] gegenkathete: ankathete ist.
also: [mm] tan\alpha= [/mm] 1,6 : [mm] \bruch{ln3}{0,2} [/mm] ca. 16,2°
ISt das jetzt richtig?
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Du hast halt im Moment nur die STeigung für einen bestimmten Punkt bestimmt, in diesem Beispiel für den tiefsten Punkt T, richtig? Gefragt ist aber m.M. nach dem Gefälle der gesamten Strecke, das nicht größer 20° sein soll. Daher müsste man jeden Punkt untersuchen.
Oder aber man nimmt den Punkt mit der größten negativen Steigung und bestimmt dessen Winkel zur x-Achse. Ist dieser kleiner 20°, ist das wohl auch für alle anderen der Fall!
Demzufolge würden wir mithilfe der zweiten Ableitung sozusagen die erste Ableitung auf Extremstellen untersuchen: anders ausgedrückt Wendepunkte.
[mm] $f''(x)=-0,096*e^{0,2x}+0,064*e^{0,4x}$
[/mm]
[mm] $0,096*e^{0,2x}+0,064*e^{0,4x}=0$
[/mm]
[mm] $e^{0,2x}*(-0,096+0,064*e^{0,2x})=0$
[/mm]
[mm] e^{0,2x} [/mm] = 0 [mm] \vee -0,096+0,064*e^{0,2x}=0
[/mm]
erste Gleichung wird niemals 0.
[mm] e^{0,2x}=\bruch{3/2}
[/mm]
x=2,027 oder [mm] \bruch{ln(\bruch{3}{2})}{0,2}
[/mm]
Der Punkt mit der größten Steigung ist alsoNICHT der Endpunkt T. Der liegt bei [mm] x=\bruch{ln(3)}{2}. [/mm] Wir haben einen Punkt davor mit noch größerer Steigung gefunden. Jetzt darfst du diesen auch in die erste Ableitung einsetzten und stellvertretend für alle Punkte die Steigung bestimmen.
Setze ich den ermittelten x-Wert [mm] x_{WP}=\bruch{ln(\bruch{3}{2})}{0,2} [/mm] in f'(x) ein, so erhalte ich -0,36 (sorry, war vorher falsch)
Das wäre dann dein Wert für die Steigung m an der Stelle [mm] x_{wp}
[/mm]
Das ergibt einen Steigungswinkel von [mm] \alpha=-19,79° [/mm]
Sop damit hast du ziemlich genau eine Aussage über das Gefälle auf der ganzen Strecke, denn 1. ist es bis auf den Punkt T definitiv geringer als 19,79° und zweitens ist es am steilsten Punkt knapp unterhalb des geforderten Maximalgefälles.
Nachtrag: Deine Lösung hat einen entscheidenden Nachteil: Du kannst zwar mithilfe des Steigungsdreiecks die Steigung bestimmen, aber nur sehr grob und ungenau. Denn du musst dich ja für ein [mm] \Delta [/mm] x entscheiden, ebenso für y. Demzufolge wählst du vielleicht eine Differenz von 1 oder 0,1. Hier sind aber so starke Änderungen pro 0,01 oder noch kleiner, dass du im Prinzip, wolltest du T einsetzten, einen Punkt weiter links wählen musst, der ganz nah an T dran ist, also vielleicht T-0,01. Dann kannst du auch gleich die Methode der Ableitung benutzen, denn das ist ja nichts anderes, als den Grenzwert des Differenzenquotienten zu bilden und damit praktisch in deinem Steigungsfreieck die Differenz [mm] \Delta [/mm] x unendlich klein zu machen. Damit wird das Ergebnis am genauesten. Wenn du einfach irgendwelche x-Werte wählst, wie T und 1 und dann die entsprechenden y-Werte einsetzt, wirst du nur ein sehr unzureichendes Ergebnis erhalten.
Angenommen du wölltest tatsächlich die komplette Strecke von [mm] x_1=0 [/mm] bis [mm] x_2=\bruch{ln(3)}{0,2} [/mm] durch ein einziges Steigungsdreieck abbilden, so müsstest du so vorgehen: [mm] m=\bruch{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\bruch{0-1.6}{\bruch{ln(3)}{0,2}-0}=-0,2913
[/mm]
Das aber liefert dir einen durchschnittlichen Steigungswinkel von sage und schreibe: -16,24°
Damit hast du aber nur einen Durchschnitt gebildet, du kannst also nicht wissen, dass es einen Steigungswinkel von fast 20° an der Stelle [mm] x_{WP} [/mm] gibt, daher ist dieses Vorgehen mit Vorsicht zu genießen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Di 01.02.2011 | | Autor: | Adamantin |
Hier noch eine Graphik zur Veranschaulichung.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Leider bekomme ich die Beschriftung nicht besser hin und die Farben auch nicht, naja...
Also die Gerade liegt oberhalb der eigentlichen Extremstelle [mm] x_{WP} [/mm] bei ungefähr 2.
Wie du sehen kannst, ist die Sekantenfunktion bzw. die Gerade, die durch A und T geht, eben nicht in der Lage, die maximale Steigung zu erfassen. Sie gibt die mittlere auf dieser STrecke zurück.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Di 01.02.2011 | | Autor: | a-c |
OKay, das kan ich nachvollziehen, dass man erst die Wendestelle berechnen muss, weil das die Stelle mit der größten Steigung bzw. Gefälle ist.
Habe das jetzt einmal selbst gerechnet, um das nachvollziehen zu können. Ich verstehe aber immer noch nicht, wie ich zu dem Winkel kommen, wenn ich die Steigung am wendepunkt mit der ersten Ableitung gebildet habe.
LG
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> OKay, das kan ich nachvollziehen, dass man erst die
> Wendestelle berechnen muss, weil das die Stelle mit der
> größten Steigung bzw. Gefälle ist.
> Habe das jetzt einmal selbst gerechnet, um das
> nachvollziehen zu können. Ich verstehe aber immer noch
> nicht, wie ich zu dem Winkel kommen, wenn ich die Steigung
> am wendepunkt mit der ersten Ableitung gebildet habe.
>
>
> LG
Na so wie ich es dir gezeigt habe ;) Du hast die Steigung m mithilfe der 1. Ableitung bestimmt, korrekt?
Jetzt kennst du die Beziehung [mm] tan(\alpha [/mm] )=m, richtig? Also brauchst du nur mit Hilfe deines Taschenrechners die inverse Tangensfunktion zu benutzen und du erhälst einen Winkel (der hier natürlich negativ ist).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Di 01.02.2011 | | Autor: | a-c |
Okay... ich gebe zu, dass das eine blöde Frage war ;)
Vielen Dank für deine Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Di 01.02.2011 | | Autor: | a-c |
| Aufgabe | Ich habe hier noch eine ähnlich Aufgabe, die ich jetzt glaube ich auch richtig lösen kann, durch deine vorangegangene Unterstützung!
Die Inliner wollen gewährleisten, dass die Rampe am Endpunkt E einen Winkel von höchstens 60° gegen die Waagerechte aufweist. |
Der Endpunkt E hat die Koordinaten (8,047/1,6).
Dann habe ich E in die erste Ableitung (f'(x)= -0,48e^(0,2x)+0,16e^(0,4x)eingesetzt, um die Steigung in diesem Punkt zu ermitteln. Dann kam dafür 1,59 heraus.
Und dann habe ich davon den tangens ausgerechnet und für alpha 57,83° erhalten.
Somit Ist die Bedingung der Inliner erfüllt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Di 01.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ausser der Sprechweise ist alles richtig, du hast nicht den tnangens gebildet, sondern den arctan bzw [mm] tan^{-1}
[/mm]
gruss leduart
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