Winkel zwischen zwei Vektoren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Mi 16.04.2014 | | Autor: | Dante19 |
| Aufgabe | Hallo,
ich muss den winkel zwischen zwei vektoren im 3d raum ausrechnen. Ich möchte das mir ein positiver und ein negativer winkel ausgegben wird. |
ich habe es mit cos [mm] \alpha [/mm] = (a.b/|a x b|). Jedoch bekomme ich hierbei immer postiver winkel raus. Ich glaube der tan ist richtig. ich habe es mit [mm] \alpha [/mm] = atan (|a x b|,a.b).
jedoch kriege ich hierbei auch immer positive werte. welchen wert müsseten a und b annehmen um negative werte auszugeben
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Hallo!
Das mit dem Glauben ist so ne Sache. Du müßtest schon begründen, warum der Tangens funtioniert. (Tut er nicht!)
Das Problem ist, daß sowohl der Cosinus als auch der Term [mm] \frac{\vec{a}*\vec{b}}{|a|*|b|} [/mm] völlig symmetrisch ist. Ein Vertauschen von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] entspricht zwar einem Vorzeichenwechsel des Winkels, aber auf diese Formel hier hat das absolut keinen Einfluss.
Aber generell muß du dich erstmal fragen, was genau du mit einem positiven und negativen Winkel meinst. Denn das kommt darauf an, ob der eine Vektor rechts oder links vom anderen liegt, und das hängt in 3D davon ab, ob man es von oberhalb oder unterhalb der von den beiden Vektoren aufgespannten Ebene betrachtet.
Vielleicht hilft dir das Vektorprodukt: [mm] \vec{a}\times\vec{b}=\vec{c} [/mm] .
Grundsätzlich gilt [mm] |\vec{a}\times\vec{b}|=|a|*|b|*\sin(\alpha) [/mm] . Dadurch hast du erstmal nichts gewonnen, schlimmer noch, du bekommst stets nur [mm] 0\leq\alpha\leq90^\circ [/mm] zurück.
Aber: das Vertauschen von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] liefert dir ein umgekehrtes Vorzeichen von [mm] \vec{c} [/mm] . (Rechte-Hand-Regel) Und nebenbei ist [mm] \vec{c} [/mm] die Achse, um die herum der Winkel gemessen wird. Damit ist der Winkel eindeutig festgelegt. Ob du dem Vektor nun ein negatives Vorzeichen spendieren mußt oder nicht, hängt aber immernoch davon ab, aus welcher Richtung du das ganze betrachtest.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mi 16.04.2014 | | Autor: | Dante19 |
hi,
ich betrachte im moment die ebene oberhalb der beiden vektoren eingespannten fläche.
Macht es einen unterschied, ob ich ich |a x b| = |a| * |b| * [mm] sin(\alpha) [/mm] oder |b x a| = |b| * |a| * [mm] sin(\alpha). [/mm] Ich dachte aufgrund der Betragszeichen würde immer dasselbe rauskommen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 Mi 16.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> hi,
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> ich betrachte im moment die ebene oberhalb der beiden
> vektoren eingespannten fläche.
Was meinst Du damit genau ?
> Macht es einen unterschied, ob ich ich |a x b| = |a| * |b|
> * [mm]sin(\alpha)[/mm] oder |b x a| = |b| * |a| * [mm]sin(\alpha).[/mm] Ich
> dachte aufgrund der Betragszeichen würde immer dasselbe
> rauskommen
Tut es auch.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Mi 16.04.2014 | | Autor: | Dante19 |
ich habe ein koordinatensystem vorwärts rechts oben. Ich möchte um die Achse rechts drehen. Der winkel befindet sich zwischen einem Vektor der durch die achsen oben und vorwärts gespannt wird und der der Achse vorwärts. wenn ich mit cos rechne, bekomme ich leider nur positive werte raus, wenn ich unter 0 grad gehe, bleiben die werte null grad. daher meine Frage gibt es eine Möglichkeit den winkel auszurechnen der sich im uhrzeigersinn dreht, weil ich ja mit arccos oder atan den winkel gegen den uhrzeigersinn ausrechne
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Hallo!
Hmmm, durch deinen letzten Beitrag steige ich heute abend nicht mehr ganz durch.
Ich meinte das eben so: betrachte die Vektoren [mm] \vec{a}=\vektor{1\\0\\0} [/mm] und [mm] \vec{b}=\vektor{0\\1\\0} [/mm] Der mathematisch positive Winkel zwischen a und b ist 90°
Dann ist [mm] \vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}=\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
Die Betragsgleichung liefert [mm] |1|=|1|*|1|*\sin\alpha [/mm] , also [mm] \alpha=+90°
[/mm]
Wenn du jetzt mit der rechten Hand ne Faust bildest, und den Daumen ausstreckst, und die Hand so ausrichtest, daß der Daumen in Richtung [mm] \vec{c} [/mm] zeigt, dann geben dir die anderen Finger an, von wo nach wo der Winkel geht. (Naja, von [mm] \vec{a} [/mm] nach [mm] \vec{b} [/mm] )
Wenn du jetzt [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] vertauschst, hat das auf die Betragsgleichung keinen Einfluss, wohl aber auf das Vektorprodukt:
[mm] \vec{b}\times\vec{a}=\vektor{0\\0\\\red{-}1}=\red{-}\vec{c}
[/mm]
Die Sache mit der rechten Hand zeigt dir nun, daß auch der Winkel von 90° in die andere Richtung gemessen wird. Je nach genauem Anwendungszweck bedeutet das, daß du den Winkel mit einem negativen Vorzeichen verzieren darfst.
Aber es gibt keine einfache Methode, direkt nen negativen Winkel zu bekommen - wie oben erwähnt kommt es ja immer auf den Standpunkt an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:54 Do 17.04.2014 | | Autor: | Dante19 |
Danke, das hat mir Age geholfen. Ich wäre gerne wiss. Wie ich einen Vektor in eine Ebene projeziere. Ich möchte meinen Vektor in die oben und vorwärts ebene projezieren. Mein basisvektor ist vorwärts.Dazu bin ich wie folgt vor gegangen:
Projektionsvektor= oben*(oben *vektor)/|oben|+vorwärts*(vorwärts*vektor)/|vorwärts|
Winkel=arccos( projektionsvektor*basisvektor/(|proketionsvektor|))
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:21 Fr 18.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist fast nicht lesbar, kannst du d oder die entsprechenden Einheitsvektoren (1,0,0= (0,1,0) (0,0,1)
einen Vektor z.B. in die x-z Ebene projizieren, heisst einfach seine y Komponente 0 setzen.
was du schreibst versteh ich nicht, Da du studierst müsstest du doch mit Vektoren ungehen können ?
Gruß leduart
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