matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesWinkel zwischen Vektoren
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Winkel zwischen Vektoren
Winkel zwischen Vektoren < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Winkel zwischen Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:53 Sa 25.06.2011
Autor: nem86

Mittels des skalarproduktes von 2 Vektoren lässt sich doch der Kosinus des Winkels zwischen den Beiden bestimmen:

[mm] cos(\alpha) [/mm] = [mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] / [mm] |\vec{a}|*|\vec{b}| [/mm]

Gibt es in diesem Sinne auch eine Beziehung für den Sinus des Winkels? (Ich könnte einfach den winkel berechnen und dann den sinus nehmen, aber mal angenommen die Option gibt es nicht :) )

Mir gab jemand die Formel:

[mm] sin(\alpha) [/mm] = (Ax*Bx - Ay*By) / [mm] |\vec{a}|*|\vec{b}| [/mm]

Wobei Ax, Ay,... die x- und y-Koordinaten der Vektoren sind. Allerdinsg erschliesst sich mir nicht warum das so sein sollte. Kann mir jemand helfen?






Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Sa 25.06.2011
Autor: Diophant

Hallo,

die Formel kann meiner Ansicht nach nicht stimmen. Betrachtet man zwei Vektoren [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b}, [/mm] so ergeben die Winkel zwischen [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] sowie zwischen [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] -\overrightarrow{b} [/mm] in der Summe 180°. Damit die von dir angegebene Formel ihre Richtigkeit hätte müssten es 90° sein.

Überlege dir mal ein Problem im [mm] \IR^3, [/mm] wo man dies ausnutzen könnte.

Gruß, Diophant



Bezug
                
Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Ist falsch [war: Doch richtig]
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Sa 25.06.2011
Autor: Diophant

Hallo nochmal,

ich habe das falsch verstanden. Wenn du das so meinst:

[mm]sin(\phi)=\frac{a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}}{|\overrightarrow{a}|*|\overrightarrow{b}|}[/mm]

dann stimmt das natürlich genau aus dem von mir erwähnten Grund: für [mm] \alpha+\beta=90° [/mm] gilt ja [mm] sin(\alpha)=cos(\beta). [/mm] Mache dir das am besten an Hand einer Zeichnung klar.

EDIT:
Meine obigen Überlegungen beruhten auf einem Irrtum und ich halte die angegebene Formel für falsch.

Gruß, Diophant

Bezug
                        
Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:29 Sa 25.06.2011
Autor: nem86

Danke erstmal. Das Problem mit der Zeichnung ist, ich kann mir unter dem Skalarprodukt "optisch" nichts vorstellen. Laut der Begründung [mm] \alpha+\beta=90° [/mm] stimmt diese Formel also, aber warum zwei Winkel?
Mal in Anders-Logisch:
Ergibt sich durch das minus im Zähler der "restliche Winkel" zum eigentlichen Skalarprodukt? und deswegen kann man dann den Sinus nehmen?

Bezug
                                
Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 Sa 25.06.2011
Autor: Diophant

Hallo,

ich habe es oben schon editiert: ich bin da einem gedanklichen Irrtum aufgesessen. Wie Leopold_Gast auch, halte ich die von dir im Themenstart angegebene Formel für falsch.

In welchem Zusammenhang wurde das denn behauptet bzw. aufgestellt?

Gruß, Diophant

Bezug
                                        
Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:04 Sa 25.06.2011
Autor: nem86

Also ich brauche den Sinus vom Winkel. (Der Winkel, ist natürlich der zwischen den beiden Vektoren, der kleinere immer)

Die Formel hat mir der Betreuer meiner Studienarbeit gegeben :)
Da ichs aber 1. auch nciht verstehe und 2. ihm manchmal nicht so ganz traue, dachte ich, frage ich mal hier nach.

Es gitb wohl auch eine Sinusbeziehung mit dme Kreuzprodukt, aber ich habe nur einen zweidimensionalen Vektorraum.

Edit:
mir fällt grad auf:
stimmt denn die aussage sin(a)=sin(b) wenn a+b=90° sind?

Denn ich hab im Ganzen ein rechtwinkliges Dreieck, und schon macht das ganze ja dann sinn. wenn man die Vektoren der gegenüberliegenden Dreiecksseite und der Hypotenuse nimmt. Dann wäre aber die Berechnungsformel prinzipiell diesselbe wie beim cosinus oben.
Kann mir noch wer folgen? :D

(Ist schwer zu erklären ohne Skizze)



Bezug
                                                
Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 Sa 25.06.2011
Autor: Leopold_Gast

Wenn man den Cosinus eines Winkels hat, hat man doch automatisch den Sinus:

trigonometrischer Pythagoras

[mm]\sin \varphi = \sqrt{1 - \cos^2 \varphi} \, , \ \ 0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ}[/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Sa 25.06.2011
Autor: nem86

So nun hab eich mal skizziert was ich meine. Wenn ich euch richtig verstanden habe,dann hat ich ne Erleuchtung und das müsste so passen:

CAx, CAy, ... sind dabei natürlich wie bereits oben die x und y Koordinaten, für die Skalarproduktberechnung



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                        
Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 So 26.06.2011
Autor: MathePower

Hallo nem86,

> So nun hab eich mal skizziert was ich meine. Wenn ich euch
> richtig verstanden habe,dann hat ich ne Erleuchtung und das
> müsste so passen:


Das passt auch. [ok]


>  
> CAx, CAy, ... sind dabei natürlich wie bereits oben die x
> und y Koordinaten, für die Skalarproduktberechnung

  

Gruss
MathePower  

Bezug
                        
Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:56 Sa 25.06.2011
Autor: Leopold_Gast

Diese Formel kann nicht stimmen. Und was soll überhaupt [mm]\varphi[/mm] für ein Winkel sein?

Bezug
        
Bezug
Winkel zwischen Vektoren: Kreuzprodukt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:25 So 26.06.2011
Autor: HJKweseleit

Offenbar hat der Urheber der Formel das Kreuzprodukt gemeint, in dem der Sinus vorkommt.

Definition:
[mm] \vektor{a \\ b \\ c} \times \vektor{d \\ e \\ f} [/mm] = [mm] \vektor{bf - ce \\ cd - af \\ ae - bd} [/mm]

Nennen wir den ersten Vektor [mm] \overrightarrow{A}, [/mm] den zweiten [mm] \overrightarrow{B} [/mm] und das Ergebnis [mm] \overrightarrow{C}, [/mm] so gilt:

Das Kreuzprodukt (nicht: Skalarprodukt) [mm] \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} [/mm] Gibt einen Vektor [mm] \overrightarrow{C}, [/mm] dessen Länge das Produkt der Längen der Ausgangsvektoren mal Sin des Winkels zwischen ihnen ist.

Mit anderen Worten: [mm] |\overrightarrow{C}| [/mm] = [mm] |\overrightarrow{A}|*|\overrightarrow{B}|*sin(Winkel(\overrightarrow{A},\overrightarrow{C})) [/mm]

Dividierst du also [mm] |\overrightarrow{C}| [/mm] durch [mm] |\overrightarrow{A}|*|\overrightarrow{B}|, [/mm] so erhältst du wie gewünscht [mm] sin(Winkel(\overrightarrow{A},\overrightarrow{C})). [/mm]

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]