Winkel, gleichseitiges Dreieck < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Mi 07.01.2009 | | Autor: | dupline |
| Aufgabe | Ein Dreieck mit den Ecken [mm] \vec{0}, \vec{a}, \vec{b} [/mm] heißt gleichseitig, wenn [mm] ||\vec{a}|| [/mm] = [mm] ||\vec{b}||= ||\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a}||.
[/mm]
Folgern Sie aus dieser Eigenschaft für den Cosinus des Winkels zwischen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm]
[mm] cos(\vec{a}, \vec{b}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich schreib jetzt mal hin, was ich alles weiß:
Alle Winkel in dem Dreieck betragen also 60 °
den Winkel kann ich folgendermaßen ausrechnen:
[mm] \bruch{1}{2}=\bruch{a \odot b}{||\vec{a}||*||\vec{b}||}
[/mm]
wobei ich ja statt [mm] ||\vec{a}|| [/mm] auch [mm] ||\vec{b}|| [/mm] oder [mm] ||\vec{b}-\vec{a}|| [/mm] einsetzen kann.
Wenn ich das dann ausschreibe, also mit [mm] \bruch{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}{\wurzel{a_{1}^2+a_{2}^2} * \wurzel{b_{1}^2+b_{2}^2}} [/mm] dann komme ich nach vielem "herumgerechne" leider auf kein Ergebnis.
Ist die Vorgehensweise überhaupt korrekt, oder gibt es einen Trick?
Vielen Dank schon jetzt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 Mi 07.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du darfst erstmal nur verwenden, dass
"Ein Dreieck mit den Ecken $ [mm] \vec{0}, \vec{a}, \vec{b} [/mm] $ heißt gleichseitig, wenn $ [mm] ||\vec{a}|| [/mm] $ = $ [mm] ||\vec{b}||= ||\vec{b} [/mm] $ - $ [mm] \vec{a}||. [/mm] $"
Nimm dazu mal die allgemeine Formel für den Schnittwinkel [mm] \alpha [/mm] her.
[mm] <\vec{a};\vec{b}> [/mm] ist das Skalarprodukt
Also:
[mm] \cos(\alpha)=\bruch{<\vec{a};\vec{b}>}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}
[/mm]
[mm] =\bruch{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\wurzel{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²}*\wurzel{b_{1}²+b_{2}²+b_{3}²}}
[/mm]
Jetzt nimm mal die Tatsache, dass [mm] |\vec{a}|=|\vec{b}|, [/mm] also [mm] \wurzel{b_{1}²+b_{2}²+b_{3}²}=\wurzel{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\wurzel{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²}*\wurzel{b_{1}²+b_{2}²+b_{3}²}}
[/mm]
[mm] =\bruch{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\wurzel{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²}*\wurzel{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²}}
[/mm]
[mm] =\bruch{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\wurzel{(a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²)(a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²)}}
[/mm]
[mm] =\bruch{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\wurzel{(a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²)²}}
[/mm]
[mm] =\bruch{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{a_{1}²+a_{2}²+a_{3}²}
[/mm]
Versuch jetzt mal, das ganze noch ein wenig umzuformen, dass du [mm] \cos(\alpha)=\bruch{1}{2} [/mm] hast, denn dann gilt: [mm] \alpha=60°
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Mi 07.01.2009 | | Autor: | dupline |
Hallo Marius,
danke für die Hilfe, das ganze ist mir soweit auch klar, ich habe jetzt auch versucht den Bruch zu vereinfachen, allerdings weiß ich nicht wie ich die b's aus dem Zähler bekommen kann.
Bringt es mir etwas den Zähler und Nenner (wieder) als Skalarprodukt zu schreiben? [mm] \bruch{a \odot b}{a \odot a}
[/mm]
ich weiß dass der Nenner das doppelte vom Zähler darstellen soll (wegen dem [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ) aber ich komm leider gar nicht weiter
danke nochmal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Mi 07.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Marius,
>
> danke für die Hilfe, das ganze ist mir soweit auch klar,
> ich habe jetzt auch versucht den Bruch zu vereinfachen,
> allerdings weiß ich nicht wie ich die b's aus dem Zähler
> bekommen kann.
>
> Bringt es mir etwas den Zähler und Nenner (wieder) als
> Skalarprodukt zu schreiben? [mm] \bruch{a \odot b}{a \odot a}[/mm]
Das hilft auf jeden Fall. Versuche dann mal, einige Eigenschaften des Skalarproduktes zu nutzen.
Und überlege mal, dass [mm] \vec{b}=\vec{a}+\overrightarrow{AB}
[/mm]
Ersetze das mal im Zähler, und nutze dann, dass:
[mm] <\vec{x}+\vec{y};\vec{z}>
[/mm]
[mm] =<\vec{x};\vec{z}>+<\vec{y};\vec{z}>
[/mm]
damit solltest du weiterkommen.
>
> ich weiß dass der Nenner das doppelte vom Zähler darstellen
> soll (wegen dem [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ) aber ich komm leider gar
> nicht weiter
>
> danke nochmal
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:26 Mi 07.01.2009 | | Autor: | dupline |
Danke für die vielen Tips bisher, aber ich steh mit dieser Aufgabe wohl auf Kriegsfuß.
Mir sind alle Schritte bisher klar, aber ich sehe immer den nächsten nicht, ich glaube ich mache es mir etwas zu leicht.
Also durch die Bi-Linearitäts-Eigenschaft kann ich dann folgendes schreiben:
[mm] \bruch {\vec{a}\odot(\vec{a}+\vec{AB})}{\vec{a}\odot\vec{a}} [/mm] = [mm] \bruch {(\vec{a}\odot\vec{a})+(\vec{a}\odot\vec{AB})}{\vec{a}\odot\vec{a}}
[/mm]
kann ich dann schreiben:
= [mm] 1+\bruch {(\vec{a}\odot\vec{AB})}{\vec{a}\odot\vec{a}} [/mm]
dann könnte ich [mm] \vec{AB} [/mm] wieder durch [mm] (\vec{b}-\vec{a}) [/mm] ersetzen, aber
dann dreh ich mich im Kreis und komm letztendlich wieder auf [mm] \bruch{a \odot b}{a \odot a} [/mm]
???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 09.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Hallo dupline!
Zudem musst Du auch noch ins Spiel bringen, dass die 3. Dreiecksseite dieselbe Länge hat (sonst wäre es nur ein gleichschenkliges und kein gleichseitiges Dreieck):
[mm] $$\left\| \ \vec{a}-\vec{b} \ \right\| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\left(a_1-b_1\right)^2+\left(a_2-b_2\right)^2+\left(a_3-b_3\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{a_1^2+a_2^2+a_3^2} [/mm] \ = \ [mm] \left\| \ \vec{a} \ \right\|$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:35 Mi 07.01.2009 | | Autor: | Jackson12 |
Hallo Marius,
ich habe genau das gleiche Problem! Wenn ich es nun umforme komme ich auf [mm] cos(\alpha)= [/mm] 1 ???
Kannst du noch einen Tipp abgeben?
Danke
Jackson
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:41 Do 08.01.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Jackson,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Bitte poste doch auch Deine Rechnungen, damit wir den Fehler finden können.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
