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| Aufgabe | Eine Pyramide besitzt folgende Grundkanten:
a=91cm
b=98cm
c=105cm
Die Höhe der Pyramide ist h = 105cm. Der Fußpunkt der Höhe fällt in den Mittelpunkt des Innkreises der Grundfläche.
Bestimmen Sie, ohne Taschenrechner, die Neigungswinkel der Seitenflächen zur Grundfläche. |
Hallo,
leider scheine ich 'einfache' Geometrieaufgaben verlernt zu haben.
Um die Aufgabe zu lösen, wäre ich so vorgegangen:
1.) Wahl einer der drei Seitenflächen, z.B.: das Dreieck ABS (mit S = Spitze der Pyramide)
2.) das Lot t vom Fußpunkt F (= Innkreismittelpunkt) auf die Strecke AB fällen mit Lotfußpunkt L.
3.) Ich betrachte das Dreieck LFS.
4.) Ich berechne den Innkreisradius (= Länge der Strecke LF):
$r = [mm] \frac{2A}{a+b+c} [/mm] = [mm] \sqrt\frac{{(s-a)(s-b)(s-c)}}{{s}} [/mm] $ (mit s = U/2 = (a+b+c)/2)
Es ergibt sich:
$ s = 147cm $, also $ r = 28 cm$
5.) Ich berechne den Winkel Alpha, bei dem sich die Strecken LS und FS schneiden:
$ tan Alpha = [mm] \frac{SF}{LF} [/mm] = [mm] \frac{h}{r} [/mm] = [mm] \frac{105cm}{28cm}$
[/mm]
So: Das kann ich ohne Taschenrechner nicht. Also muss ich irgendwo einen gravierenden Fehler gemacht haben.. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Fr 13.09.2013 | | Autor: | abakus |
> Eine Pyramide besitzt folgende Grundkanten:
> a=91cm
> b=98cm
> c=105cm
>
> Die Höhe der Pyramide ist h = 105cm. Der Fußpunkt der
> Höhe fällt in den Mittelpunkt des Innkreises der
> Grundfläche.
>
> Bestimmen Sie, ohne Taschenrechner, die Neigungswinkel der
> Seitenflächen zur Grundfläche.
>
>
> Hallo,
>
> leider scheine ich 'einfache' Geometrieaufgaben verlernt zu
> haben.
>
> Um die Aufgabe zu lösen, wäre ich so vorgegangen:
>
> 1.) Wahl einer der drei Seitenflächen, z.B.: das Dreieck
> ABS (mit S = Spitze der Pyramide)
> 2.) das Lot t vom Fußpunkt F (= Innkreismittelpunkt) auf
> die Strecke AB fällen mit Lotfußpunkt L.
> 3.) Ich betrachte das Dreieck LFS.
> 4.) Ich berechne den Innkreisradius (= Länge der Strecke
> LF):
>
> [mm]r = \frac{2A}{a+b+c} = \sqrt\frac{{(s-a)(s-b)(s-c)}}{{s}}[/mm]
> (mit s = U/2 = (a+b+c)/2)
> Es ergibt sich:
> [mm]s = 147cm [/mm], also [mm]r = 28 cm[/mm]
>
> 5.) Ich berechne den Winkel Alpha, bei dem sich die
> Strecken LS und FS schneiden:
>
> [mm]tan Alpha = \frac{SF}{LF} = \frac{h}{r} = \frac{105cm}{28cm}[/mm]
Hallo,
das kann man noch kürzen zu 15/4=3,75.
Somit gilt [mm]\alpha=arctan(3,5)[/mm] (das ist der Winkel im Bogenmaß). Im Gradmaß lautet das Ergebnis dann
[mm]\frac{180°*arctan(3,5)}{\pi}[/mm] .
Das ist ein Ergebnis ohne Taschenrechner.
Gruß Abakus
>
> So: Das kann ich ohne Taschenrechner nicht. Also muss ich
> irgendwo einen gravierenden Fehler gemacht haben.. :)
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Ah, vielen Dank :)
Wenn ich bei obiger Pyramide die Länge der Strecke AL berechnen will, so steht laut unserem Uni-Skript, dass
AL = (s-a)
wobei s der halbe Umfang des Dreiecks ABC ist.
Wieso ist das so?
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> Ah, vielen Dank :)
>
> Wenn ich bei obiger Pyramide die Länge der Strecke AL
> berechnen will, so steht laut unserem Uni-Skript, dass
>
> AL = (s-a)
> wobei s der halbe Umfang des Dreiecks ABC ist.
>
> Wieso ist das so?
Es seien L,M,N die Berührungspunkte des Inkreises
mit den Dreiecksseiten AB, BC und CA (in dieser
Reihenfolge).
Betrachte dann die Teilstrecken, in welche die
Seiten durch diese Teilpunkte zerschnitten werden.
Dann ist
[mm] \overline{AL}=\overline{AN} [/mm]
[mm] \overline{BL}=\overline{BM} [/mm]
[mm] \overline{CM}=\overline{CN}
[/mm]
Aufgrund dieser Kenntnisse kann man ein einfaches
Gleichungssystem aufstellen und alle Teilstrecken
berechnen.
Der erste, der diesen Einfall hatte, lebte vor 2000
Jahren und hieß ![[]](/images/popup.gif) Heron
Auf einer Webseite zum Thema, auf die ich zufällig
gestoßen bin:
"Berechnung der Dreiecksfläche nach Heron"
wird ein Beweis der Heronschen Flächeninhaltsformel
gegeben, in welchem seltsamerweise diese geniale
Idee von Heron (dass man nämlich den Flächen-
inhalt eines Dreiecks ganz einfach durch das Produkt
aus seinem halben Umfang s und seinem Inkreisradius [mm] \rho
[/mm]
darstellen kann) weder erwähnt noch verwendet
wird: Dass der Name von Heron da als Überschrift
herhalten muss, ist ein schlechter Witz ...
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Fr 13.09.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich würde denken, dass bestimmen auch mit einer masstäblichen Zeichnung richtig wäre?
Gruss leduart
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> Eine Pyramide besitzt folgende Grundkanten:
> a=91cm
> b=98cm
> c=105cm
>
> Die Höhe der Pyramide ist h = 105cm. Der Fußpunkt der
> Höhe fällt in den Mittelpunkt des Innkreises der
> Grundfläche.
>
> Bestimmen Sie, ohne Taschenrechner, die Neigungswinkel der
> Seitenflächen zur Grundfläche.
>
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> Hallo,
>
> leider scheine ich 'einfache' Geometrieaufgaben verlernt zu
> haben.
>
> Um die Aufgabe zu lösen, wäre ich so vorgegangen:
>
> 1.) Wahl einer der drei Seitenflächen, z.B.: das Dreieck
> ABS (mit S = Spitze der Pyramide)
> 2.) das Lot t vom Fußpunkt F (= Innkreismittelpunkt) auf
> die Strecke AB fällen mit Lotfußpunkt L.
> 3.) Ich betrachte das Dreieck LFS.
> 4.) Ich berechne den Innkreisradius (= Länge der Strecke
> LF):
>
> [mm]r = \frac{2A}{a+b+c} = \sqrt\frac{{(s-a)(s-b)(s-c)}}{{s}}[/mm]
> (mit s = U/2 = (a+b+c)/2)
> Es ergibt sich:
> [mm]s = 147cm [/mm], also [mm]r = 28 cm[/mm]
>
> 5.) Ich berechne den Winkel Alpha, bei dem sich die
> Strecken LS und FS schneiden:
>
> [mm]tan Alpha = \frac{SF}{LF} = \frac{h}{r} = \frac{105cm}{28cm}[/mm]
>
> So: Das kann ich ohne Taschenrechner nicht. Also muss ich
> irgendwo einen gravierenden Fehler gemacht haben.. :)
Na, du bist doch praktisch am Ziel.
Man kann den Bruch noch kürzen:
$\ [mm] tan(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] \frac{105}{28}\ [/mm] =\ [mm] \frac{15}{4}\ [/mm] =\ 3.75$
und damit haben wir:
[mm] $\alpha\ [/mm] =\ [mm] arctan\left(\frac{15}{4}\right)\ [/mm] =\ [mm] arctan\,(3.75)$
[/mm]
Das muss genügen, und mehr war bestimmt auch nicht
verlangt. Niemand erwartet, dass du eine Tabelle des
Arcustangens auswendig kennst.
LG , Al-Chwarizmi
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Insgesamt: Vielen Dank an alle!
Mich hat nur die Aufgabenstellung "Bestimme den Neigungswinkel ..." irritiert, da ich erwartete, einen konkreten Winkel im Gradmaß angeben zu müssen.
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> Insgesamt: Vielen Dank an alle!
>
> Mich hat nur die Aufgabenstellung "Bestimme den
> Neigungswinkel ..." irritiert, da ich erwartete, einen
> konkreten Winkel im Gradmaß angeben zu müssen.
Naja, wenn der Aufgabensteller an dieses Problem
gedacht hätte, hätte er nur eine geeignete Höhe
(anstatt h=105) wählen sollen, zum Beispiel $\ h\ =\ 28$
oder $\ h\ =\ [mm] 28*\sqrt{3}$ [/mm] oder $\ h\ =\ [mm] \frac{28}{\sqrt{3}}$
[/mm]
Er hat ja immerhin schon dafür gesorgt, dass s und
die zu berechnenden Wurzeln ganzzahlig waren ...
LG , Al-Chw.
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> Insgesamt: Vielen Dank an alle!
>
> Mich hat nur die Aufgabenstellung "Bestimme den
> Neigungswinkel ..." irritiert, da ich erwartete, einen
> konkreten Winkel im Gradmaß angeben zu müssen.
Naja, wenn der Aufgabensteller an dieses Problem
gedacht hätte, hätte er nur eine geeignete Höhe
(anstatt h=105) wählen sollen, zum Beispiel h=28
oder [mm] h=28*\sqrt{3} [/mm] oder [mm] h=\frac{28}{\sqrt{3}}
[/mm]
Er hat ja immerhin schon dafür gesorgt, dass s und
die zu berechnenden Wurzeln ganzzahlig waren ...
LG , Al-Chw.
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