Winkel, Polarform, komplexe Z. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Lisa12 |
Hallo ich muss eine komplexe Zahl von der Normalform in die Polarform umrechnen. Dazu bekomme ich jedoch für Sinus und Cosinus zwei unterschiedliche Winkel. Nämlich einmal 150 Grad und einmal -30 Grad! Da Cos [mm] (\alpha) [/mm] und Sin [mm] (\alpha) [/mm] jeweils kleiner 0 muss der Winkel zwischen 180 und 270 Grad, also im Dritten Quadranten liegen! Aber wie komme ich jetzt auf den Winkel?? [mm] +\pi [/mm] oder [mm] -\pi [/mm] ?
Ich check's nicht so...
Über hilfe wäre ich sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Mi 15.05.2013 | | Autor: | chrisno |
Bitte gib die Zahl auch an. Es lässt sich einfacher an einem Beispiel erklären. Dazu Deine Rechnung, dann geht es los.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Lisa12 |
[mm] z=-\wurzel{6}-\wurzel{2}*i
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Mi 15.05.2013 | | Autor: | chrisno |
Nun die Rechnung zum Winkel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Lisa12 |
[mm] r=\wurzel{6+2}=\wurzel{8}
[/mm]
[mm] cos(\alpha)=\bruch{-\wurzel{6}}{\wurzel{8}}=-\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
[mm] sin(\alpha)=\bruch{-\wurzel{2}}{\wurzel{8}}=-\bruch{1}{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Mi 15.05.2013 | | Autor: | chrisno |
Nun versuche ich zu erklären:
Du siehst völlig richtig, dass ein Winkel im dritten Quadranten herauskommen muss.
Wenn Du den arcsin [mm] ($\sin^{-1}$ [/mm] auf dem Taschenrechner) benutzt, dann erhältst Du immer Werte zwischen -90° und +90°, denn sonst müsst Dir immer eine ganze Reihe von Werten angeboten werden und es wäre keine Funktion mehr. Du musst also nachsehen, wann der Sinus wieder den gleichen Wert annimmt, nun aber im gewünschten Winkelbereich. Dazu nimm Dir eine Darstellung der Sinusfunktion zwischen -90° und 360°. Das Ergebnis lautete -30°. Mit einer Verschiebung um [mm] $\pi$ [/mm] also 180° kannst Du nicht zum Ziel, denn da landest Du bei 150° und da ist der Sinus positiv. Besser ist da schon es mal mit einer Verschiebung um 360° zu versuchen. Bei 330° hat der Sinus den richtigen Wert, aber leider ist das ja wieder der 4.Quadrant. Ein Blick auf die Kurve hilft weiter. Offensichtlich hat der Sinus vorher im dritten Quadranten auch den richtigen Wert (-0,5) gehabt. Zu dieser Stelle kommst Du, indem Du erkennst, dass die Sinuskurve an einer Senkrechten zur x-Achse bei 270° gespiegelt werden kann. Also liegt der gesuchte Winkel genau so weit vor 270° wie 330° hinter 270° liegt. Damit landest Du bei 210°. Probe sin(210°) = ?
Genau so schau Dir den cos an. Hier bekommst Du beim arccos [mm] ($\cos^{-1}$) [/mm] nur Werte zwischen 0° und 180°. Gespiegelt wird hier bei 180°. Also: von 150° bis 180° sind es 30°, von 180° 30° weiter landest Du bei 210°. Wie schön, das ist der gleiche Winkel wie eben. Probe cos(210°) = ?
Allgemein:
Quadranten bestimmen und dann solange mit Verschieben und Spiegeln arbeiten, bis die richtige Stelle gefunden ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Mi 15.05.2013 | | Autor: | Lisa12 |
ah, ok, das werde ich jetzt mal versuchen anzuwenden! vielen dank! :)
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