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| Aufgabe | Für welche Werte a (in Abhängigkeit von b) hat die Gleichung [mm] (x-1)^2 [/mm] + b=a*x
(1) eine Lösung
(2) zwei Lösungen
(3) keine Lösung |
Wieder etwas spannendes zum Herleiten ^^. Eigentlich finde ich das das ganz okay, nur fehlt mir häufig einfach ein Ansatz / zumindest ein richtiger.
Ich schreibe die Gleichung um und erhalte:
[mm] x^2+x*(-a+2)+(b+1)=0
[/mm]
sei p = (-a+2)
q = (b+1)
Ich hatte mir nun gedacht, dass es sich ähnlich wie bei der pq-Formel verhält. Ich würde also die Diskriminante betrachten
also [mm] \wurzel{\bruch{(-a+2)^2}{4} - (b+1)}
[/mm]
(1) also mal schauen was [mm] \bruch{(-a+2)^2}{4}-(b+1)=0
[/mm]
mhh. schein nix zu bringen der Ansatz.
Ich hab jetzt nochmal darüber nachgedacht komme aber nicht recht weiter. a ist (entsprechend der angabe) ja abhängig von b also hätte ich nach A = (...) + b aufgelöst, aber dann kann ich ja noch immer nichts aussagen.
Einige Ideen zur späten Stunde ? ^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [mm] x^2 [/mm] + x*(-a+2) + (b+1) = 0
[mm] $(x-1)^2=x^2-2x+1$
[/mm]
also muß das $(-a-2)~$ sein.
> sei p = (-a-2)
> q = (b+1)
>
> Ich hatte mir nun gedacht, dass es sich ähnlich wie bei
> der pq-Formel verhält. Ich würde also die Diskriminante
> betrachten
>
> also [mm] $\wurzel{\bruch{(-a-2)^2}{4} - (b+1)}$
[/mm]
>
> (1) also mal schauen was [mm] $\bruch{(-a-2)^2}{4} [/mm] - (b+1) = 0$
> mhh. schein nix zu bringen der Ansatz.
doch, klar, jetzt löst Du nach a auf.
> Ich hab jetzt nochmal darüber nachgedacht komme aber
> nicht recht weiter. a ist (entsprechend der angabe) ja
> abhängig von b also hätte ich nach a = (...) + b
so sieht die nach a aufgelöste Gleichung aber nicht aus.
> aufgelöst, aber dann kann ich ja noch immer nichts
> aussagen.
Doch, Du hast dann für jedes b den Wert von a, für den die Gleichung genau 1 Lösung hat.
b=3? Dann muß a=2 sein. b=8? Dann a=4. b=-2? Dann gibt's kein entsprechendes a, etc.
ciao
Stefan
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für a:
Ausdruck erweitert mit 4 und Binom aufgelöst:
[mm] (a^2+4a+4)-4b+4=0
[/mm]
[mm] a^2+4a-4b+8 [/mm] = 0
[mm] a^2 [/mm] + 4a = 4b - 8
aber der Zusammenhang bleibt mir quadratisch?
oder doch mit (-a + 2) ? und nicht (-a -2) ?
das wäre schöner ^^
für b=1: [mm] a^2+4a [/mm] = -4 ?
Wie kann ich mir den Zusammenhang überlegen wenn er quadratisch bleibt?
besonders bei 2 Lösungen oder genau einer?
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Hallo, wir sollten zunächst mal Ordnung machen
[mm] (x-1)^{2}+b=ax
[/mm]
[mm] x^{2}-2x+1+b=ax
[/mm]
[mm] x^{2}-2x-ax+1+b=0
[/mm]
p=-2-a
q=1+b
[mm] x_1_2=1+0,5a\pm\wurzel{1+a+0,25a^{2}-1-b}
[/mm]
[mm] x_1_2=1+0,5a\pm\wurzel{0,25a^{2}+a-b}
[/mm]
jetzt sind die drei Fälle zu betrachten:
(1) eine Lösung: [mm] 0,25a^{2}+a-b=0
[/mm]
(2) zwei Lösungen: [mm] 0,25a^{2}+a-b>0
[/mm]
(3) keine Lösung: [mm] 0,25a^{2}+a-b<0
[/mm]
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Di 28.09.2010 | | Autor: | Blech |
> für a:
> Ausdruck erweitert mit 4 und Binom aufgelöst:
Mach Dir das Leben nicht unnötig schwer, indem Du jede Klammer gleich auflöst. Die Lösungsformeln für quadratische Gleichungen sind der letzte Ausweg, nicht der beste. =)
$ [mm] \bruch{(-a-2)^2}{4} [/mm] - (b+1) = 0 $
Hier kommt kein gemischter Term vor, a ist nur in der quadrierten Klammer, also kann man mit minimalem Aufwand einfach die Wurzel ziehen:
$ [mm] \bruch{(-a-2)^2}{4} [/mm] - (b+1) = 0 $
[mm] $\Rightarrow\ (-a-2)^2 [/mm] = 4(b+1) $
[mm] $\Rightarrow\ -a-2=\pm\sqrt{4(b+1)}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\ a=\pm\sqrt{4(b+1)}-2$
[/mm]
ciao
Stefan
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