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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Di 23.10.2007 | | Autor: | Storm |
| Aufgabe | | [a,b], [mm] a=t_0^n
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n-1}(W_{t_{k+1}^n}-W_{t_k^n})^2=b-a [/mm] |
Hallo,
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.matheplanet.com mit Topic: Eigenschaft des Wienerprozesses.
Da ich aber dort keine Antwort bekam (Erstpost am 21.10) stell ich meine Frage nun auch hier.
Zu der obigen Aufgabe bekam ich folgenden Anfang:
[mm] E|\summe_{k=0}^{n-1}(W_{t_{k+1}^n}-W_{t_k^n})^2-(b-a)|^2\rightarrow [/mm] 0 für [mm] n\rightarrow\infty
[/mm]
Nun sollte ich noch das Zeitintervall b-a zerteilen, damit ich dies in die Summe ziehen kann, also:
[mm] E|\summe_{k=0}^{n-1}(W_{t_{k+1}^n}-W_{t_k^n})^2-(t_{n-k}^n-t_{n-k-1}^n)|^2
[/mm]
und noch den inneren quadrat. Term auflösen:
[mm] E|\summe_{k=0}^{n-1}W_{t_{k+1}^n}^2-2*W_{t_{k+1}^n}*W_{t_k^n}+W_{t_k^n}^2-(t_{n-k}^n-t_{n-k-1}^n)|^2
[/mm]
Nun soll sich dort einieges kürzen, was ich leider nicht sehe. Als Tipps bekam ich dann noch, mir die Eigenschaften von Momenten 4. Grades anzuschauen. Leider hab ich da auch keine Ahnung, außer:
[mm] E(Z^p)=\integral_{-\infty}^{+\infty}{t^p*f_Z(t) dt}
[/mm]
Wie kann ich hier also ran gehen?
Vielen Dank
Stefan
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Gehen wir das doch mal ganz einfach an: Du weißt, dass die Zuwächse des Wienerprozesses unabhängig normalverteilt sind. Den Erwartungswert kannst du in die Summe hineinziehen, dann hast du:
[mm]\summe_{k=0}^{n-1}E(W_{t_{k+1}^n}-W_{t_k^n})^2[/mm]
Das ist in diesem Fall jeweils gerade die Varianz (der Erwartungswert der Zuwächse ist ja 0) und wir wissen, dass gilt
[mm]Var(W_{t_{k+1}^n}-W_{t_k^n})=t_{k+1}^n - t_k^n[/mm]
Einsetzen, aufsummieren, fertig.
Nachbemerkung:
Das ist natürlich alles andere als eine Überraschung, denn es folgt direkt aus der Definition des Wienerprozesses - schließlich ist
[mm]\summe_{k=0}^{n-1}(W_{t_{k+1}^n}-W_{t_k^n}) = (W_b - W_a) \sim N(0; b-a)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 So 28.10.2007 | | Autor: | Storm |
Du hast ja eigentlich nur den Mittelwert von
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}(W_{t_{k+1}^n}-W_{t_k^n})^2 [/mm] gebildet und dann normal weitergerechnet, oder? Kann ich dies denn auch mit den Anfang machen, welchen ich bekommen habe:
[mm] E|\summe_{k=0}^{n-1}(W_{t_{k+1}^n}-W_{t_k^n})^2-(t_{n-k}^n-t_{n-k-1}^n)|^2?
[/mm]
Dort kann ich ja den Erwartungswert nicht einfach in das Quadrat reinziehen oder?
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OK - ich hab von der Aufgabenstellung her argumentiert (schien mir einfacher). Wenn man den steinigen Weg gehen will, kann man es auch so machen. Wie?
Zunächst mal müsste man das Quadrat auflösen (viel Spaß). Dann zieht man den Erwartungswert doch wieder in die entstandene Summe. Die gemischten Terme enthalten jeweils 2 von einander unabhängige normalalverteilte ZV, deren EW je 0 ist, d.h. die gemischten Terme fallen weg. Die quadratischen Terme sind zueinander unabhängig und können daher einzeln betrachtet werden. Tut man das, kommt man zum selben Ergebnis, weil
[mm]}E(W_{t_{k+1}^n}-W_{t_k^n})^2 =t_{n-k}^n-t_{n-k-1}^n[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Mo 29.10.2007 | | Autor: | Storm |
Vielen Dank für deine Hilfe :)
MfG
Stefan
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