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Hallo,
folgende Aufgabe:
Untersuchen Sie [mm] f_n [/mm] : I [mm] \to \IR [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
[mm] f_n(x) [/mm] = [mm] (n-1)(1-x)x^n, [/mm] I = [0,1]
Okay - erstmal nur die punktweise Konvergenz.
Habe das vielleicht etwas umständlich gemacht aber so denke ich es besser zu verstehen:
Punktweise konvergent [mm] \gdw f_n(x) \to [/mm] f(x) (n [mm] \to \infty) [/mm] also genau dann wenn [mm] f_n(x) [/mm] gegen "meine" Grenzfunktion strebt.
1. Fall: Betrachte x = 0 und f(x) = 0. Ich muss nun zeigen, dass [mm] f_n(x) [/mm] gegen f(x) für n [mm] \to \infty [/mm] mit x = 0 geht. Richtig?
Das ist ja offensichtlich der Fall.
2. Fall: Betrachte x > 0 und x < 1. Mein f(x) ist weiterhin f(x) = 0.
[mm] f_n(x) [/mm] muss nun mit x zwischen 0 und 1 für n [mm] \to \infty [/mm] gegen 0 streben.
Das tut es, da [mm] x^n [/mm] für jedes x zwischen 0 und 1 gegen 0 strebt.
3. Fall: Betrachte x = 1. Mein f(x) ist weiterhin f(x) = 0.
[mm] f_n(x) [/mm] muss nun mit x = 1 gegen 0 gehen.
Da [mm] f_n(x) [/mm] mit x = 1 Null ergibt ist dies der Fall.
Stimmt das so? Etwas umständlich...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
> 2. Fall: Betrachte x > 0 und x < 1. Mein f(x) ist weiterhin
> f(x) = 0.
>
> [mm]f_n(x)[/mm] muss nun mit x zwischen 0 und 1 für n [mm]\to \infty[/mm]
> gegen 0 streben.
>
> Das tut es, da [mm]x^n[/mm] für jedes x zwischen 0 und 1 gegen 0
> strebt.
>
Aber das (n-1) strebt gegen [mm] \infty.
[/mm]
Du musst also auf jeden Fall anders argumentieren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Do 24.04.2008 | | Autor: | abi2007LK |
Leuchtet ein.
Ich habe vergeblich versucht für [mm] (n-1)(1-x)x^n [/mm] mit x [mm] \in [/mm] (0,1) und n [mm] \to \infty [/mm] den Grenzwert zu bestimmen. Ob mich das hätte weitergebracht? Hat jemand einen kleinen Tipp?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 25.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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