Wie vorgehen? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Do 10.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Abend
Berechnen das Integral
[mm] \integral \bruch{2x^{2} + 4 }{x^{3} - x^{2} + x -1}
[/mm]
Kann mir jemand sagen, wie ich hier vorgehen sollte?
Danke
Gruss DInker
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Hallo Dinker,
> Guten Abend
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>
> Berechnen das Integral
>
> [mm]\integral \bruch{2x^{2} + 4 }{x^{3} - x^{2} + x -1}[/mm]
>
> Kann mir jemand sagen, wie ich hier vorgehen sollte?
Bestimme die Nullstellen des Nenners, zerlege ihn entsprechend so weit wie möglich in Linearfaktoren (und evtl. einen quadratischen Faktor) und mache dann eine Partialbruchzerlegung ...
>
> Danke
> Gruss DInker
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Do 10.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Danke für den Lösungshinweis.
Kann mir jemand sagen wie die Partialbruchzerlegung funktioniert?
[mm] \integral [/mm] = [mm] \bruch{2*(x^{2} + 2)}{(x -1)* (x^{2} + 1)}
[/mm]
Sorry ich brauch die Hilfe
Danke
Gruss Dinker
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Hallo nochmal,
> Hallo
>
> Danke für den Lösungshinweis.
>
> Kann mir jemand sagen wie die Partialbruchzerlegung
> funktioniert?
>
> [mm]\integral[/mm] = [mm]\bruch{2*(x^{2} + 2)}{(x -1)* (x^{2} + 1)}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Sorry ich brauch die Hilfe
kein Problem:
Die 2 kannst du ja vor das Integral ziehen, damit hast du
[mm] $2\cdot{}\int{\frac{x^2+2}{(x-1)\cdot{}(x^2+1)} \ dx}$
[/mm]
Nun mache nur für den Integranden, also für [mm] $\frac{x^2+2}{(x-1)\cdot{}(x^2+1)}$ [/mm] eine Partialbruchzerlegung (PBZ)
Hier gibt's eine reelle Nullstelle (x=1) vom Faktor $x-1$ und einen Faktor [mm] $x^2+1$, [/mm] der keine reelle Nullstelle hat.
Das führt zu dem Ansatz [mm] $\frac{x^2+2}{(x-1)\cdot{}(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$
[/mm]
Hier mache mal die Brüche auf der rechten Seite gleichnamig und sortiere im entstehenden Zähler nach Potenzen von x.
Dann kannst du im Zähler einen Koeffizientenvergleich mit dem Zähler auf der linken Seite, also mit [mm] $x^2+2=\red{1}\cdot{}x^2+\green{0}\cdot{}x+\blue{2}$ [/mm] machen ...
Die verschiedenen Ansätze für eine PBZ kannst du gut auf ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia nachlesen, etwa auf der Mitte der Seite unter "Ansätze" oder "Ansatz"
Versuche mal, wie weit du kommst ...
>
> Danke
> Gruss Dinker
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Do 10.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo schachuzipus
Danke für die Erklärungen.
Ich werde mir das morgen genauer anschauen.
Gruss Dinker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Ich muss nochmals etwas weiter vorne Ansätzen....
[mm] \bruch{x^{2} + 2}{(x - 1) * (x^{2} + 1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x - 1} [/mm] + [mm] \bruch{Bx + C}{x^{2} + 1}
[/mm]
Diesen Schritt verstehe ich noch nicht so ganz....
[mm] x^{2} [/mm] + 2 = [mm] A*(x^{2} [/mm] + 1) + (Bx + C) * ( x - 1)
x = -1
3 = A * (2)
A = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
Sicherheitsspeicherung..
Setze nun A = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] ein:
[mm] x^{2} [/mm] + 2 = [mm] \bruch{3}{2}x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{2} [/mm] + [mm] Bx^{2} [/mm] - Bx + Cx - C
Etwas Ordnung machen:
[mm] x^{2} [/mm] + 2 = [mm] x^{2}*(\bruch{3}{2} [/mm] + B) + x*(-B + C) + (-C + [mm] \bruch{2}{3})
[/mm]
Und nun?
Danke
Gruss Dinker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
> [mm]\bruch{x^{2} + 2}{(x - 1) * (x^{2} + 1)}[/mm] = [mm]\bruch{A}{x - 1}[/mm] + [mm]\bruch{Bx + C}{x^{2} + 1}[/mm]
>
> Diesen Schritt verstehe ich noch nicht so ganz....
>
> [mm]x^{2}[/mm] + 2 = [mm]A*(x^{2}[/mm] + 1) + (Bx + C) * ( x - 1)
Hier wurden die beiden Brüche auf der rechten Seite durch entsprechendes Erweitern gleichnamig gemacht, und anschließend vergleicht man die beiden Zähler der Brüche rechts und links der Gleichung (schließlich sind die Nenner nunmehr gleich).
> x = -1
>
> 3 = A * (2)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Dies erhält man durch Einsetzen von $x \ = \ [mm] \red{+} [/mm] \ 1$ .
Aber dann stimmt's ...
Setze nun noch weitere x-Werte ein, z.B. $x \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo Loddar
A = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] bleibt auch bei A = -1
Wieso soll ich nun x = 0 einsetzen?
Gruss Dinker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
> A = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] bleibt auch bei A = -1
Hm, wie kommst Du darauf? Für $x \ = \ -1$ erhalte ich eine andere Gleichung.
> Wieso soll ich nun x = 0 einsetzen?
Weil Du nun beiliebige x-Werte in die Gleichung einsetzen kannst, um entsprechende Bestimmungsgleichungen zu erhalten; z.B. auch $x \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Wir hatten doch
[mm] x^{2} [/mm] + 2 = [mm] A*(x^{2} [/mm] + 1) x= -1
1 + 2 = A*2
[mm] \bruch{3}{2} [/mm] = A
Was mache ich falsch?
Danke
Gruss Dinker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
Du musst schon die gesamte Gleichung verwenden und nicht nur einzelne Bruchstücke dessen.
[mm] $$x^2 [/mm] + 2 \ = \ [mm] A*\left(x^2 + 1\right) [/mm] + (B*x + C) * ( x - 1) $$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Dinker |
3 = 3A - 2B - 2C
Wo soll ich jetzt x= 0 einsetzen?
Gruss DInker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
Bitte stelle Dich nicht dümmer als Du bist ... oder konzentriere Dich auf eine Aufgabe (und nicht eine Vielzahl gleichzeitig).
> 3 = 3A - 2B - 2C
>
> Wo soll ich jetzt x= 0 einsetzen?
Wenn Du natürlich erst $x \ = \ 1$ eingesetzt hast, kannst Du nun in diese Gleichung nicht mehr $x \ = \ 0$ einsetzen.
Oder wie bist Du sonst auf o.g. Gleichung gekommen?
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Fr 11.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo dinker
Du hast doch :
[mm] x^2+1=x^2(A+B)+x*(C-B)+ [/mm] (A-C)
2 Moeglichkeiten A,B,C zu bestimmen:
1. die gleichung muss fuer ALLE x richtig sein. du setzt 3 verschiedene x ein und hast ein GS mit 3 Unbekannten, das du loesen kannst.
2. du machst einen "Koeffizientenvergleich von links mit rechts:
der Faktor bei [mm] x^2 [/mm] muss 1 sein also
A+B=1
der Faktor bei x muss 0 sein also C-B=0
das Absolute Glied muss 1 sein also A-C=0
3 einfache Gl. um die 3 Konstanten zu bestimmen.
Persoenlich find ich die 2 te Methode fast immer einfacher.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo Leduart
Danke für die Erklärung
Ich komm drauf zurück, konzentrier mich aber zuerst noch auf die Substitution
Gruss Dinker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Ich habe noch Probleme beim Koeffizientenvergleich.....
Ich versteh einfach nicht was dort steht
[mm] x^{0} [/mm] und [mm] x^{1} [/mm] was wird mit diesen Potenzen gezeigt?
und wie ergibt sich dann:
[mm] x^{0} [/mm] = -2 -3B
[mm] x^{1} [/mm] = A + B
Ich wäre dankbar für ganz, ganz detaillierte Erklärung
Danke
Gruss DInker
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo
[mm] x^{2}+1=x^{2}(A+B)+x(C-B)+(A-C)
[/mm]
1 [mm] *x^{2}+ [/mm] 0 *x + 1 = (A+B) [mm] *x^{2}+ [/mm] (C-B) *x + (A-C)
ich denke, durch die Farben erkennst du den Koeffizientenvergleich:
für [mm] x^{2} [/mm] bekommst du die Gleichung: 1=A+B
für [mm] x^{1} [/mm] bekommst du die Gleichung: 0=C-B
für [mm] x^{0} [/mm] bekommst du die Gleichung: 1=A-C
Steffi
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:38 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Ich versteh das einfach nicht
[mm] x^{0}, x^{1} [/mm] . Was wird nun damit gemacht...ich hab kein blassen schimmer....
Gruss Dinker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Wieso gibt
[mm] x^{0}: [/mm] -4 = -2A - 3B
Was wird gemacht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
x -4 = x*( A + B) + (-2A -3B)
[mm] x^{0} [/mm] Was wird gemacht?
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> x -4 = x*( A + B) + (-2A -3B)
>
> [mm]x^{0}[/mm] Was wird gemacht?
>
>
also alle koeffizienten von [mm] x^0 [/mm] raussuchen: -4=-2A-3B
für [mm] x^1 [/mm] wär das: 1 = A+B
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Diese Antwort erachte ich als Versuch meine Anfrage ins lächerliche zu ziehen.
Wenn du kein Japanisch verstehst und ich versuche dir ein japanisches Synonym zu liefern, so wird das dir nicht viel weiterhelfen........
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:00 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Loddar |
.
![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Nein das ist doch echt so.
Ich habe eine Frage und dann wird geschrieben, einfach den Koeffizientenvergleich anzuwenden...Aber ich denke es kann nicht offensichtlicher sein, dass ich gerade nicht weiss wie der Koeffizientenvergleich funktioniert...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Sa 12.09.2009 | | Autor: | fencheltee |
> Nein das ist doch echt so.
>
> Ich habe eine Frage und dann wird geschrieben, einfach den
> Koeffizientenvergleich anzuwenden...Aber ich denke es kann
> nicht offensichtlicher sein, dass ich gerade nicht weiss
> wie der Koeffizientenvergleich funktioniert...
fiktives beispiel
[mm] Z+(A+B)*cos(x)+C*x*cos(x)+D*x^2+E*e^x+F*x*e^x+G*sin(x)=5*cos(x)+4*x*cos(x)+6x^2+4*e^x+7*x*e^x+0.5*sin(x)+4+3*x^2
[/mm]
vorkommen tun also [mm] x^0, [/mm] cos(x), x*cos(x), [mm] x^2, e^x, x*e^x, [/mm] sin(x) diese nun alle raussortieren, und die koeffizienten hinschreiben. ist also nix anderes als die aufgezählten vorkommnisse auszuklammern.
[mm] x^0: [/mm] Z=4
cos(x): A+B=5
cos(x)*x: C=4
[mm] x^2: [/mm] D=6+3
[mm] e^x: [/mm] E=4
[mm] x*e^x: [/mm] F=7
sin(x): G=0.5
achja: an deinem "sarkasmus" wie auch deinen fragen solltest du noch feilen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo
Ich weiss dass ich blöd bin, das ändert auch diese raffinierte Aufgabe nicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
> Ich habe eine Frage und dann wird geschrieben, einfach den
> Koeffizientenvergleich anzuwenden...Aber ich denke es kann
> nicht offensichtlicher sein, dass ich gerade nicht weiss
> wie der Koeffizientenvergleich funktioniert...
Lehn' Dich mal zurück und lies Dir Deine eigene obige "Frage" durch.
Ist da nur in irgendeiner Form angedeutet, dass Du "Koeffizientenvergleich" nicht verstanden hast? Das ist Dir als Betroffener klar. Aber auch für einen Außenstehenden?
Also formuliere Fragen bitte deutlich, klar, eindeutig und konkret. Denn nur für derartige Fragen kann die Antwort entsprechend sein ("Es kann immer nur soviel hinten rauskommen, was man vorne reingesteckt hat!").
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo Zusammen
Ich möchte mich bei Loddar und fencheltee für mein wiederholtes Fehlverhalten entschuldigen.
Ich versuche an meiner schnellen Reizbarkeit zu arbeiten.....Denn wenn ich eine weile vor Aufgaben sitze und keinen Ansatz weiter komme, so bin ich schnell einmal etwas gar aufgebracht.
Danke für die Hilfe
Gruss Dinker
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Also scheinbar will niemand auf mich eingehen, deshalb ganz und klar definiert.
Was und wie funktioniert der Koeffizientenvergleich von
x - 4 = x*(A + B) + (-2A -3B)
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Also
[mm] x^{0} [/mm] = 1
Dann einfach überall für x null einsetzen?
Aber das funktioniert nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
Pass bitte genau auf, was Du sagst / schreibst.
Allein die Länge dieses Threads zeigt doch schon, wieviele Leute und in welchem Umfang Dir geholfen haben (und, um es nicht zu vergessen: FREIWILLIG)!
> Was und wie funktioniert der Koeffizientenvergleich von
Das ist zumindest mal eine konkrete Fragestellung.
[mm] $$\red{1}*x [/mm] \ [mm] \blue{- 4} [/mm] \ = \ [mm] x*\red{(A + B)} [/mm] \ + \ [mm] \blue{ (-2A -3B)}$$
[/mm]
Man betrachte sich jeweils rechts und links der Gleichung die Werte, welche vor dem Term $x \ = \ [mm] x^1$ [/mm] stehen (rote Farbe).
Damit ergibt sich folgende Bestimmungsgleichung:
[mm] $$\red{1} [/mm] \ = \ [mm] \red{(A + B)} [/mm] $$
Dasselbe machen wir nun mit dem Absolutglied (also ohne $x_$ bzw. mit [mm] $x^0 [/mm] \ = \ 1$ ). Das sind die blau markierten Terme, die folgende Gleichung ergeben:
[mm] $$\blue{- 4} [/mm] \ = \ [mm] \blue{ (-2A -3B)}$$
[/mm]
Nun dieses Gleichungssystem wie gewohnt lösen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Dinker |
Hallo Loddar
So passts. Hätte mir dies bereits zu Beginn jemand so ausführlich und durch den geeigneten Farbeneinsatz illustriert, so wäre dieser Thread bereits nach einem Beitrag beendet gewesen.
Danke Loddar
Gruss Dinker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Sa 12.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dinker!
Genau das hat aber Steffi bereits hier getan!
Gruß
Loddar
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