Wie sieht Jordan aus? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] A\in (8\times 8,\mathbb{R}) [/mm] gegeben, mit charackteristischem Polynom [mm] \chi_A=T^8-T^7
[/mm]
und es sei:
dimKer(A)=3, [mm] dimKer(A^2)=5\, dimKer(A^3)=6, dimKer(A^4)=7, dimKer(A^5)=7.
[/mm]
Wie sieht die Jordansche Normalform von A aus? |
Hallo,
allgemein eine erstmal einfache Aufgaben.
Aus [mm] \chi_A(T)=0 [/mm] erhält man die Eigenwerte [mm] T_1=0, T_2=1.
[/mm]
So jetzt kann ich bzgl. des Eigenwerts 0 aus den Angaben über die Kerne folgern, dass ich 3 Jordankästchen erhalte. Die Partition sähe so aus P=(3,1,1), wobei jeder Eintrag für eine [mm] n\times [/mm] n Matrix steht.
Diese Partition liefert mir eine [mm] 5\times [/mm] 5 Matrix. Logischerweise muss die Jordan Form auch eine [mm] 8\times [/mm] 8 Matrix sein.
Fülle ich den Rest dann einfach mit meinem Eigenwert 1 auf? Erhalte ich also ein Jordankästchen zum Eigenwert 1 bestehend aus einer [mm] 3\times [/mm] 3 Matrix?
Ich besitze ja keine Informationen über den dimKern(A-E). Kann ich diese irgendworaus folgern?
Ich würde sagen es ist: [mm] J=$\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:04 Mi 01.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]A\in (8\times 8,\mathbb{R})[/mm] gegeben, mit
> charackteristischem Polynom [mm]\chi_A=T^8-T^7[/mm]
> und es sei:
> dimKer(A)=3, [mm]dimKer(A^2)=5\, dimKer(A^3)=6, dimKer(A^4)=7, dimKer(A^5)=7.[/mm]
>
> Wie sieht die Jordansche Normalform von A aus?
> Hallo,
>
> allgemein eine erstmal einfache Aufgaben.
> Aus [mm]\chi_A(T)=0[/mm] erhält man die Eigenwerte [mm]T_1=0, T_2=1.[/mm]
Genau, und zwar mit algebraischen Vielfachheiten 7 und 1.
> So jetzt kann ich bzgl. des Eigenwerts 0 aus den Angaben
> über die Kerne folgern, dass ich 3 Jordankästchen
> erhalte.
Richtig.
> Die Partition sähe so aus P=(3,1,1), wobei jeder
> Eintrag für eine [mm]n\times[/mm] n Matrix steht.
Nein, dem ist nicht so.
> Diese Partition liefert mir eine [mm]5\times[/mm] 5 Matrix.
Allein deswegen kann es schon nicht sein: die Matrix muesste das Format $7 [mm] \times [/mm] 7$ haben, da der Eigenwert die algebraische Vielfachheit 7 hat.
> Logischerweise muss die Jordan Form auch eine [mm]8\times[/mm] 8
> Matrix sein.
Weil $A$ eine $8 [mm] \times [/mm] 8$-Matrix ist.
> Fülle ich den Rest dann einfach mit meinem Eigenwert 1
> auf?
Im Allgemeinen nicht.
Aber fuer einen $1 [mm] \times [/mm] 1$-Block mit Eigenwert 1 gibt es nur genau eine Moeglichkeit.
LG Felix
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> Aber fuer einen [mm]1 \times 1[/mm]-Block mit Eigenwert 1 gibt es
> nur genau eine Moeglichkeit.
>
> LG Felix
>
Okay, aber wie sieht dann meine Partition bzgl. des Eigenwerts 0 aus, also die [mm] 7\times [/mm] 7 Matrix?
Ich hatte mich oben vertan. Es ist p'=(3,5-3,6-5,7-6)=(3,2,1,1), demnach bekäme ich ja auch eine [mm] 7\times [/mm] 7 Matrix mit der Partition p=(4,2,1) richtig?
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> eine [mm]7\times[/mm] 7 Matrix mit der Partition p=(4,2,1) richtig?
Hallo,
das ist richtig.
Gruß v. Angela
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