Wie bilde ich eine Basis? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Finden Sie eine Basis des [mm] \IR^3, [/mm] die eine Basis des Lösungsraums der Gleichung x + y − 2z = 0 enthält. |
Ich hab keinen blassen Schimmer wie ich das machen soll.
das Einzige was ich weiß ist das die Vektoren linear unabhängig sein müssen und es sich um die kleinstmögliche Variante handeln muss, mehr bringe ich leider nicht zustande.
Kann mir jemand die Vorgehensweise an (z.B.) den Beispiel erklären?: Basis von [mm] \IR^3 [/mm] mit x+y+z=0
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> Finden Sie eine Basis des [mm]\IR^3,[/mm] die eine Basis des
> Lösungsraums der Gleichung x + y − 2z = 0 enthält.
> Ich hab keinen blassen Schimmer wie ich das machen soll.
> das Einzige was ich weiß ist das die Vektoren linear
> unabhängig sein müssen und es sich um die kleinstmögliche
> Variante handeln muss, mehr bringe ich leider nicht
> zustande.
Hallo,
nehmen wir als Beispiel 4x+3y+2z=0.
Wir haben hier eineGleichung und drei Unbekannte.
Wir können also für zwei der Variablen beliebige Zahlen einsetzen, die dritte Variable ist durch unsere Wahl festgelegt.
Wählen wir
z=t und y=s erhalten wir [mm] x=\bruch{1}{4}(-3s-2t).
[/mm]
Die Lösungen der Gleichung haben also die Gestalt
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} =\vektor{\bruch{1}{4}(-3s-2t) \\ s \\ t} =\vektor{\bruch{-3}{4}s+\bruch{-2}{4}t) \\ s \\ t} =s\vektor{\bruch{-3}{4}\\ 1 \\ 0}+t\vektor{\bruch{-2}{4}) \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Somit wird die Lösung erzeugt von [mm] (\vektor{\bruch{-3}{4}\\ 1 \\ 0},\vektor{\bruch{-1}{2}) \\ 0 \\ 1})
[/mm]
Die lineare Unabhängigkeit sieht man in diesem Fall sofort.
Gruß v. Angela
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ok, dann wäre das für meine Rechnung:
y=s, z=t
x= 2t-s
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{2t-s \\ s \\ t} [/mm] = s [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + t [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Die Lösung wird erzeugt von
[mm] (\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1})
[/mm]
-> t=0=s -> ist linear unabhängig
Wir hatten den Begriff der Basis noch nicht so richtig: ist das jetzt die Basis (2 Vektoren = eine Basis???)? muss man noch schritte machen um die Aufgabe zu lösen?
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> ok, dann wäre das für meine Rechnung:
> y=s, z=t
> x= 2t-s
>
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] = [mm]\vektor{2t-s \\ s \\ t}[/mm] = s
> [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm] + t [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Die Lösung wird erzeugt von
> [mm](\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1})[/mm]
>
> -> t=0=s -> ist linear unabhängig
Diesen "Beweis" für die lineare Unabhängigkeit finde ich etwas rudimentär, aber vielleicht meinst Du das richtige:
Aus [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}=s\vektor{-1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + t [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
folgt s=t=0, also sind die Vektoren linear unabhängig.
>
> Wir hatten den Begriff der Basis noch nicht so richtig: ist
> das jetzt die Basis
Ja.
Basis: linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 Mo 20.11.2006 | | Autor: | celeste16 |
danke für deine Hilfe
(ach ja, für den beweis für lin. unabhängigkeit war ich einfach zu faul  )
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Zaed |
Hallo,
soweit so gut :D
Allerdings glaube ich, dass die Aufgabe noch nicht gelöst ist! ;)
In der Aufgabe steht doch geschrieben, dass man eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] finden soll, welche eine Basis des angegeben Gleichungssystems enthält. Eine Basis des [mm] \IR^{3} [/mm] hat aber stets 3 Vektoren ;)
Man muss also noch einen linear unabhängigen Vektor finden, welcher aus den 2 gefundenen Vektoren eine Bais macht :D
Zumindest würde ich die Aufgabe so verstehen
lg, Zaed
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Du hast recht!
Bisher ist die erst die Aufgabe gelöst, eine Basis des Lösungsraumes der Gleichung zu finden.
Um die gestellte Aufgabe zu erfüllen ist sie durch einen lin.unabhängigen Vektor zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] zu ergänzen! Zum Glück ist das verhältnismäßig einfach. (Ich hatte diesen Teil der Aufgabe völlig aus den Augen verloren.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Di 21.11.2006 | | Autor: | ecko |
Mal ne Frage, du besprichst heir net zufällig gerade das Übungsblatt 6 von Dr Green, hab hier auch schon Frag 1 reingeschrieben, coole Sache
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