Wie Stammfunktion bilden? < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 So 03.04.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Cauchy-Hauptwert von
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{3x^2e^{-x^2} dx}[/mm]
Ist das Integral konvergent? |
Hallo,
erstmal zur Konvergenz. Da
[mm]\forall |x|\ge 2[/mm] [mm]\bruch{3x^2}{e^{x^2}} \ < \bruch{1}{x^2}[/mm]
ist das Integral kovergent mit Majorante [mm] \bruch{1}{x^2}[/mm]
Meine Frage, wie komme ich auf die Stammfunktion?
1. Idee: $ [mm] x^2 [/mm] $ substituieren, klappt nicht.
2. Idee: Partielle Integration mit $ u = [mm] e^{-x^2} [/mm] $ und $ v' = [mm] 3x^2 [/mm] $, klappt auch nicht.
Andere sinnvolle Substitutionen oder u und v vertauschen klappt immo auch nicht. Wie komme ich weiter?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 So 03.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> 2. Idee: Partielle Integration mit $ u = [mm] e^{-x^2} [/mm] $ und $ v' = [mm] 3x^2 [/mm] $, klappt auch nicht.
> Andere sinnvolle Substitutionen oder u und v vertauschen klappt immo auch nicht.
Doch.
Etwas ausführlicher: Wie könnte man denn einen Term mit [mm] $e^{-x^2}$ [/mm] wählen, der leicht integrierbar ist?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 So 03.04.2011 | | Autor: | BarneyS |
> Hi,
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> > 2. Idee: Partielle Integration mit [mm]u = e^{-x^2}[/mm] und [mm]v' = 3x^2 [/mm],
> klappt auch nicht.
> > Andere sinnvolle Substitutionen oder u und v vertauschen
> klappt immo auch nicht.
>
> Doch.
>
> Etwas ausführlicher: Wie könnte man denn einen Term mit
> [mm]e^{-x^2}[/mm] wählen, der leicht integrierbar ist?
>
> ciao
> Stefan
Hey, danke, sau gute Idee :)
dann nehme ich $ v' = [mm] (-2x)e^{-x^2} [/mm] $ und bekomme
[mm] \integral_{}^{}{3x^2e^{-x^2} dx} = -\bruch{3}{2}\integral_{}^{}{x(-2x)e^{-x^2} dx} = xe^{-x^2} - \integral_{}^{}{e^{-x^2} dx}[/mm]
Doch jetzt komme ich wieder nicht weiter.
Partielle Integration geht nicht, da kein Produkt.
Substitution funzt auch nicht, da ich das x nicht rausbekomme:
[mm] u = -x^2[/mm] [mm] \bruch{du}{dx} = -2x[/mm] [mm] dx = \bruch{du}{-2x}[/mm]
Sorry, aber ich brauch noch einen Tipp...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 So 03.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] \integral_{}^{}{3x^2e^{-x^2} dx} [/mm] = [mm] -\bruch{3}{2}\integral_{}^{}{x(-2x)e^{-x^2} dx} [/mm] = [mm] xe^{-x^2} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{e^{-x^2} dx} [/mm] $
Da ist das [mm] $-\frac [/mm] 32$ verschwunden. =)
> [mm] \integral_{}^{}{e^{-x^2} dx}
[/mm]
gibt's nicht, aber
[mm] $\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2} dx} [/mm] = [mm] \sqrt{\pi}$
[/mm]
Die englische Wikipedia hat den schicken ![[]](/images/popup.gif) Beweis. (schick, weil ein im 1-dim nicht lösbares Problem im 2-dim plötzlich funktioniert =).
ciao
Stefan
PS: Könnte irgendwer mal eine Möglichkeit einführen, an nicht erschienene Editierfenster zu kommen? Das Fenster timed aus und dann ist die Frage als reserviert markiert, aber es gibt keine Möglichkeit, sie tatsächlich zu beantworten. Wieso kann ich "ich will die Frage doch nicht beantworten" wählen, aber nicht "bitte, bitte, laß mich die besch...eidene Antwort schreiben"?
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Huhu,
dein "Doch" hätte ich mal gern ausführlich begründet.
Es gibt nämlich keine elementare Stammfunktion, da änder auch ein geschicktes Substituieren nichts.
MFG;
Gono.
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