Wie Flächenintegral berechnen? < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Menge [mm]A = \{(x,y) | x+y \ge 2, y \le \wurzel(x), x \le 2 \}[/mm]
(a) Skizzieren Sie A in der x-y-Ebene.
(b) Berechnen Sie [mm]\bruch{1}{24}+\integral_{A}^{}{\integral_{}^{}{xy dA}}[/mm] (Soll ein Doppelintegral über A sein) |
Hallo,
die erste Teilaufgabe habe ich denke ich, richtig gezeichnet oder ?
[Dateianhang nicht öffentlich]
zu (2): Hier weiß ich leider nicht, wie ich an das Problem herangehen soll. In der Formelsammlung steht, ich solle den Flächennormalenvektor [mm]\vec{F}[/mm]aufstellen. Soweit ich das sehe, also die Begrenzungen der Fläche oder ? Als Ansatz wollte ich [mm]\integral_{A}^{}{\integral_{}^{}{\vec{F} * d\vec{A}}}[/mm] verwenden.
Meine Idee wäre ein erstes Integral die schiefe, negative Gerade (s. Bild) von [mm]x=\wurzel{2}[/mm] bis [mm]x=2[/mm] aufzustellen und die rechte Begrenzungslinie als 2tes Integral von y=0 bis [mm]y=\wurzel{2}[/mm] zu verwenden. Dann hätte ich für den Flächennormalenvektor folgendes:
[mm]\vec{F}=\vektor{y=-(x-2) \\ x=2} [/mm]
Ist das soweit korrekt? Wie gehe ich nun weiter vor? Ich habe schon im Internet gesucht, aber dort fand ich keine "Musterlösung" einer ähnlichen Aufgabe.
Lieben Gruß,
Dirk König
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Mo 18.06.2007 | | Autor: | kochmn |
Grüß Dich, Dirk.
Für dieses Integral brauchst Du noch keine Normalenvektoren!
Du summierst einfach so wie Du bei "normalen" Schulintegralen
alle Flächenelemente auf der x-Achse zu einer Gesamtfläche
aufaddiert hast nun eben alle Volumenelemente auf dem Gebiet A
zu einem Gesamtvolumen auf.
Das geschieht in vier Schritten:
i) Überlege Dir, wie die Grundfläche A überhaupt aussieht.
Das hast Du bereits erledigt!
ii) Löse das Mehrfachintegral mit geeigneten Grenzen.
Ich gebe Dir die Lösung vor. Überlege Dir aber unbedingt
selber, wie die Grenzen der Integrale zustandekommen.
Das ist nicht schwer und meines Erachtens der Sinn der
Übung.
[mm] \integral\integral_{A} [/mm] xy dA = [mm] \integral_{x=2-\wurzel{2}}^{2} \integral_{y=2-x}^{\wurzel{2}} [/mm] xy dy dx
iii) Jetzt integriere das erst einmal nach y. Störe Dich nicht
an dem x in der Integralgrenze und bedenke, dass das x im
Integranden im Integral nach y eine Konstante darstellt. Wenn
Du willst kannst Du es sogar vor das innere Integral ziehen:
= [mm] \integral_{x=2-\wurzel{2}}^{2} [/mm] x [mm] (\integral_{y=2-x}^{\wurzel{2}} [/mm] y dy) dx.
iv) Den Rest packst du alleine!
Liebe Grüße
Markus-Hermann.
P.S.: Vergiss in der Lösung das [mm] \bruch{1}{24} [/mm] nicht!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Mo 18.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Markus-Hermann,
danke für deine Hilfe.
zu II: Also wenn ich das richtig verstehe, das erste Integral beschreibt das obere senkrechte Grenzstück und zwar in Bezug auf die x-Koordinaten (x=), während das innere Integral die Schräge Gerade beschreibt, in Bezug auf die Y-Koordinaten (y=). Damit setze ich dann die Begrenzungen für die Flächen und damit schlussendlich für das Volumen. Und ich benötige für das Volumen zwei Bedingungen, für die abschließenden Flächen ?
zu IV:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ist die Aufgabe so korrekt gelöst ? Was ist das eigentlich für ein Volumen welches ich dann herausbekomme? Wie kann ich mir das bildlich vorstellen?
Lieben Gruß,
Dirk
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Di 19.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst dir die Funktion f(x,y)=xy als Höhe über der x-y ebene vorstellen. dann hast du über deiner Fläche ein Stück Gebirge, dessen Volumen du ausrechnest.
Du addierst ja alle kleinen "Quader" Grundfläche dA=dx*dy Höhe x*y zu dem Gesamtvolumen.
Beim Addieren gehst du "reihenweise vor, Telst die Grundfläche in schmale Streifen parallel zur x Achse, Breite dy und danach in x- Richtung.
2. sowohl deine Zeichnung, wie daraufhin die Grenzen in dem post sind falsch.
die obere Grenze ist keine Gerade, sondern ein Stück der Kurve [mm] y=\wurzel{x}!
[/mm]
Damit ist dein Integral:
[mm] \integral_{1}^{2}{ dx}\integral_{2-x}^{\wurzel(x}){xy dy}
[/mm]
Abschätzen, ob du etwa richtig liegst kannst du indem du den Flächeninhalt *Maximalhöhe ausrechnest, so hab ich gesehen, dass dein Integral auch für die gezeichnete Fläche viel zu groß ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Di 19.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Leduart,
danke für die Hinweise. Das Prinzip habe ich jetzt verstanden (denke ich), ich summiere alle "Säulen" bzw. Quader des Gesamtvolumens auf. Die Höhe einer Säule ist an der Position xy eben x*y. Aber ich verstehe noch nicht, wie du auf die Integrationsgrenzen des zweiten, inneren Integrales gekommen bist- kannst du das nochmal bitte erläutern? Oder, wenn es dir zuviel wird, gibt es eine gute, anschauliche Seite zu dem Thema?
Aufjedenfall habe ich es nochmal gelöst, diesmal habe ich für die Fläche folgendes herausgebracht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und den Flächeninhalt ausgerechnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Da ich als Ergebnis 23/24 herausbekommen habe und ich noch 1/24tel addieren soll, bin ich mir sicher, das Ergebnis ist richtig. Wenn es zu unleserlich ist, kann ich es bei Zweifeln auch nochmal hierher digital übertragen.
Zu deinem Testverfahren, x und y ersetze ich dann in der Gleichung quasi einfach durch die entsprechenden Maximalwerte (2 und wurzel(2) ) und ersetze diese auch in den Integrationsgrenzen. Wenn ich das so durchrechne, erhalte ich einen Maximalwert von 4 für das Volumen, wenn an jeder Stelle die Höhe 2*wurzel(2) beträgt.
Lieben Gruß,
Dirk
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Di 19.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du dir das ding waagerecht schraffierst, ist die Schraffierung parallel zur x-Achse, also die Streifen der Breite dy doch begrenzt unten von der Geraden y=2-x, oben von der Kurve [mm] y=\wurzel{x}.
[/mm]
Deine Abschätzung ist wertlos, wenn du wieder Integrieren musst. mit maximaler Höhe [mm] 2\wurzel{2} [/mm] hast du recht, solltest aber A einfach abschätzen. dein altes A hatte A=1 also ist das jetzt richtige A<1 un damit sicher das [mm] Integral<2\wurzel{2}, [/mm] na ja keine sehr gute Abschatzung! aber genug um grobe Fehler zu merken.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Mi 20.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Leduart,
jetzt habe ich es verstanden, danke.
Lieben Gruß,
Dirk
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 18:15 Di 19.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Grenzen, die Markus angibt passen zu der Zeichnung, aber nicht zu der Aufgabe.
Gruss leduart
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