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Hallo,
ich bin neu hier und würde mich über mathematische Hilfe freuen, weil ich damit nicht recht klar komme.
Problem 1: Wertebereich
Ich habe kapiert, wie man auf den Definitionsbereich kommt, nur mit dem Wertebereich habe ich Probleme
z.B.: [mm] \bruch{x²}{4x² + 16}
[/mm]
D= ( - [mm] \infty; [/mm] + [mm] \infty) [/mm] \ {-2;+2} das versteh ich ja noch
W= ( - [mm] \infty, [/mm] 0] [mm] \cup [/mm] (0,25; + [mm] \infty) [/mm] das wäre die Lösung, aber ich versteh nicht wie ich da drauf kommen soll?
Es muss doch irgendeinen Trick geben, wie ich da schnell drauf komme, oder?
Problem 2: Nullstellen
Ich hab folgende Funktion:
[mm] \bruch{x}{x³-9x}
[/mm]
zum einen versteh ich nicht, warum es laut Lösung keine Nullstellen gibt (oder ich sitz irgendwie auf dem Schlauch) und zum anderen rechnen die für die Extremwertbestimmung mit der behebbaren Lücke [mm] \bruch{1}{x²-9} [/mm] als Ausgangsfunktion für die erste Ableitung weiter.
Versteht das jemand?
Vielen lieben Dank schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blacksheep,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Ich hab folgende Funktion: [mm]\bruch{x}{x³-9x}[/mm]
>
> zum einen versteh ich nicht, warum es laut Lösung keine
> Nullstellen gibt (oder ich sitz irgendwie auf dem Schlauch)
> und zum anderen rechnen die für die Extremwertbestimmung
> mit der behebbaren Lücke [mm]\bruch{1}{x²-9}[/mm] als
> Ausgangsfunktion für die erste Ableitung weiter.
Du musst Dir hier zunächst den Definitionsbereich (bzw. die Definitionslücken) bestimmen:
[mm] $D_x [/mm] \ = \ [mm] \IR [/mm] \ [mm] \backslash [/mm] \ [mm] \{ \ \red{0} \ ; \ -3 \ ; \ 3 \}$
[/mm]
Die vermeintliche Nullstelle der Funktion (= Nullstelle des Zählers) [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ ist gar nicht Bestandteil des Definitionsbereich, da wir die $0_$ bereits im Vorfeld ausgeschlossen hatten.
Da wir nun sichergestellt haben, dass immer gilt: $x \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ , dürfen wir in unserem Funktion auch kürzen:
$y \ = \ [mm] \bruch{x}{x^3-9x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x}{x*\left(x^2-9\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^2-9}$
[/mm]
Und da es einfach ist, von diesem Term nun die Ableitungen zu bestimmen, wird also mit dem gekürzten Ausdruck weitergearbeitet.
Außerdem erkannt man in dieser Darstellung auch, dass es keine Nullstellen gibt, oder?
Nun etwas klarer?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blacksheep!
Kann es sein, dass Du die Funktion $y \ = \ [mm] \bruch{x^2}{4x^2 \ \red{-} \ 16}$ [/mm] meinst?
Dann stimmt der Definitionsbereich auf jeden Fall ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
Für den Wertebereich muss man Grenzwertbetrachtungen für $x [mm] \rightarrow [/mm] \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \infty$ [/mm] sowie an den beiden Polstellen [mm] $\pm [/mm] \ 2$ machen.
Zudem hilft es auch immer, wenn man die Kurvendiskussion bereits duchgeführt und eine Skizze hat:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:37 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Blacksheep |
Hallo Loddar,
also das mit der Ableitung von Nr.2 hab ich nun kapiert, aber die Funktion der Nr. 1 heißt im Nenner wirklich + 16 und nicht - 16.
Ich tu mich mit den Grenzwerten generell irgendwie schwer, hab schon aus ein paar versch. Büchern die Theorie, aber irgendwie kann ich mir darunter nicht wirklich was vorstellen.
Hast du eine bestimmte Buchempfehlung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blacksheep!
Deine Funktion lautet also $y \ = \ [mm] \bruch{x^2}{4x^2+16}$ [/mm] ??
Dann stimmen aber die von dir angegebenen Definitionsbereich und Wertebereich nicht ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") !!
[mm] $D_x [/mm] \ = \ [mm] \IR [/mm] \ = \ [mm] (-\infty; +\infty)$
[/mm]
[mm] $W_y [/mm] \ = \ [mm] \left[0; \bruch{1}{4}\right)$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ja, das ist die Funktion..und in meinem Buch steht die Lösung so drin.
Kannst du mir sagen, wie ich das am einfachsten berechne mit dem Wertebereich?
Ich dachte immer, man gibt bei + / - [mm] \infty [/mm] einfach soviele 9er als x in der Funktion in den Taschenrechner ein, und schaut dann was rauskommt.
Bei mir ist es immer 0,25 - also [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Ich muss das nämlich in so kleinen Aufgaben auf die schnelle berechnen können, ohne komplette Kurvendiskussion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 So 06.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blacksheep!
> Ja, das ist die Funktion..und in meinem Buch steht die
> Lösung so drin.
Das ist aber Käse !!!
> Kannst du mir sagen, wie ich das am einfachsten berechne
> mit dem Wertebereich?
Alternative:
Bestimme die Umkehrfunktion [mm] $f^{-1}(x)$ [/mm] (soweit möglich) und ermittle dann dessen Definitionsbereich. Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion entspricht dem Wertebereich der Ausgangsfunktion.
Für die Umkehrfunktion musst Du den Funktionsterm nach $x \ = \ ...$ umstellen, anschließend die Variablen vertauschen.
Hier: [mm] $f^{-1}(x) [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{\bruch{16x}{1-4x}}$
[/mm]
> Ich dachte immer, man gibt bei + / - [mm]\infty[/mm] einfach
> soviele 9er als x in der Funktion in den Taschenrechner
> ein, und schaut dann was rauskommt.
Das ist aber nicht ausreichend. Damit betrachtest Du ja lediglich die Grenzwerte für [mm] $x\rightarrow \pm \infty$. [/mm] Dazwischen können ja dann auch noch größere oder kleinere Funktionswerte angenommen werden.
Gruß
Loddar
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