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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Di 23.12.2008 | | Autor: | Tasel |
| Aufgabe 1 | | Zeigen Sie: [mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n \\ k}=0 [/mm] für [mm] (n\ge1). [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Berechnen Sie den Wert der Summe: [mm] \summe_{k=1}^{n}k\vektor{n \\ k}. [/mm] |
Die erste Aufgabe habe ich wie folgt gelöst:
Es gilt: [mm] (a+b)^{n}=\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}a^{k}n^{n-k}
[/mm]
Mit a=-1 und b=1 ergibt sich [mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n \\ k}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] (-1+1)^{n}=0^{n}=0
[/mm]
Reicht das als Lösung oder sollte ich noch mehr zeigen?
Bei der zweiten Aufgabe stehe ich allerdings etwas auf dem Schlauch:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k\vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}k\bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
Und nu komme ich nicht weiter. Könnte mir vielleicht jemand einen kleinen Schubs in die richtige Richtung geben?
Auf alle Fälle Danke für eure Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Di 23.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tasel,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wenn Du auch schreibst ...
[mm] $$(a+b)^{\red{n}} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*a^k*\red{b^{n-k}}$$
[/mm]
... dann reicht es auch aus. Vorausgesetzt, dieser binomische Lehrsatz ist euch auch bekannt und darf verwendet werden.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Di 23.12.2008 | | Autor: | Tasel |
Ups, ja das waren 2 kleine Tippfehler.
Hat schon lange genug gedauert die Formel so schön darzustellen ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 Di 23.12.2008 | | Autor: | reverend |
Was für eine männliche Einstellung...
Kann denn die Arbeit an der Schönheit zu lange dauern?
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> Bei der zweiten Aufgabe stehe ich allerdings etwas auf dem
> Schlauch:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k\vektor{n \\ k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
>
> Und nu komme ich nicht weiter. Könnte mir vielleicht jemand
> einen kleinen Schubs in die richtige Richtung geben?
Ok, versuch ich mal.
Ändere mal den Laufindex auf i=k-1
Dann bekommst Du [mm] \summe_{i=0}^{...}(i+1)*...
[/mm]
Ab da gilt es noch darauf zu achten, dass [mm] \bruch{j}{j!}=\bruch{1}{(j-1)!} [/mm] etc.
Wenn Du's dann noch nicht findest, könntest Du auch noch m=n-1 substituieren.
Und schließlich musst Du noch wissen, was [mm] \summe_{l=0}^q\vektor{q\\l} [/mm] ergibt.
***
Du hast doch sicher schonmal für die ersten paar n ausgerechnet, was Deine gesuchte Summe ergibt? Ab n=1 sind das ja 1,4,12,32,80,192,448,1024,2304...
Erkennst Du ein Muster?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 Mi 24.12.2008 | | Autor: | Tasel |
Ah, vielen dank.
Der etwas größere, kleine Schubs hat mich dann auf folgende Lösung gebracht:
[mm] 2^{n-1}\*n [/mm]
Und dass passt ja wunderbar zu meiner (und auch deiner) Zahlenfolge.
Vielen Dank nochmal und ein schönes Weihnachtsfest!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Rein formell musst diese Gleichheit mit der Summe nun noch beweisen; z.B. mittels 
vollständiger Induktion